Упражнение 1332 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 288

Пусть в артели было \(x\) человек и работали они по \(y\) ч в день, тогда артель выполнила бы работу за 20 дней.

Если бы в артели было \(x + 4\) человека и работали они по \(y + 1\) ч в день, тогда работа была бы выполнена за 10 дней.

Если бы в артели было \(x - 1\) человек и работали они по \(y - 1\) ч в день, тогда работа была бы выполнена за 30 дней.

Работа одинаковая.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 20xy = 10(x + 4)(y+1) , / : 10 \\ 20xy = 30(x-1)(y-1)   / : 10 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2xy = (x + 4)(y+1) ,\\ 2xy = 3(x-1)(y-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2xy = xy + x + 4y+4 ,\\ 2xy = 3(xy - x-y+1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2xy = xy + x + 4y+4 ,\\ 2xy = 3xy - 3x-3y+3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2xy - xy = x + 4y+4 ,\\ 3xy-2xy = 3x+3y-3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} xy = x + 4y+4 ,\\ xy = 3x+3y-3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x+3y-3 = x + 4y+4 ,\\ xy = 3x+3y-3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x+3y-3 - x - 4y-4 =0,\\ xy = 3x+3y-3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x-y-7 =0,\\ xy = 3x+3y-3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=2x-7 ,\\ x(2x-7) = 3x+3(2x-7)-3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=2x-7 ,\\ 2x^2-7x = 3x+6x-21-3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=2x-7 ,\\ 2x^2-7x - 3x-6x+21+3=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=2x-7 ,\\ 2x^2-16x+24=0 \end{cases} \)

\(2x^2-16x+24=0\)   \( / : 2\)

\(x^2-8x+12=0\) 

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = 12\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\( = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot12 =\)

\(=64 - 48 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2} =\frac {-b\pm\sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 4\).

\(x_1 = \frac{8+4}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

\(x_2 = \frac{8-4}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

Если \(x = 6\), то

\(y=2\cdot6-7 = 12 - 7 = 5\).

Если \(x = 2\), то

\(y=2\cdot2-7 = 4 - 7 = -3 < 0 \) - не удовлетворяет условию.

Ответ: \(6\) человек было в артели, продолжительность рабочего дня \(5\) ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью системы уравнений.

Вводим обозначения:

в артели было \(x\) человек и работали они по \(y\) ч в день. Учитывая то, что работа была одна и та же, по условию составили систему уравнений:

\( \begin{cases} 20xy = 10(x + 4)(y+1) ,\\ 20xy = 30(x-1)(y-1). \end{cases} \)

Систему решили способом подставки, при этом учли то, что количество человек и время могут быть только положительными числами.