Упражнение 1326 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 287

а) \(\begin{cases}x^2-3y^2-y=-6,\\ 2x^2-3y^2=-4\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2 =3y^2+y-6,\\ 2(3y^2+y-6)-3y^2=-4\end{cases}\)

\(2(3y^2+y-6)-3y^2=-4\)

\(6y^2 + 2y - 12 - 3y^2 + 4 = 0\)

\(3y^2 + 2y - 8 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 2\),  \(c = - 8\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=2^2 - 4\cdot3\cdot (-8) = \)

\(=4 + 96 = 100 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{100} = 10\)

\(y_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1 = \frac{-2+10}{2\cdot3}= \frac86 = \frac43 =1\frac13\),

\(y_2 = \frac{-2-10}{2\cdot3}= \frac{-12}{6} = -2\).

Если \(y = 1\frac13\), то

\(x^2 =3\cdot(1\frac13)^2 +1\frac13-6= \)

\(=3\cdot(\frac43)^2 + \frac43 - 6 =\)

\(=\cancel3\cdot\frac{16}{\cancel9_ {\color{blue}{3}} } + \frac43 - 6 =\)

\(=\frac{16}{3} + \frac43 - 6 =\frac{20}{3} - 6 =\)

\(=6\frac{2}{3} - 6 = \frac23\).

\(x = \pm\sqrt{\frac23}\)

Если \(y = -2\), то

\(x^2 =3\cdot (-2)^2+(-2)-6 =\)

\(=3\cdot4 - 2 - 6 = 12 -2 -6 = 4\)

\(x = \pm\sqrt4\)

\(x = \pm2\)

Ответ: \((-\sqrt{\frac23}; 1\frac13)\), \((\sqrt{\frac23}; 1\frac13)\), \((-2; -2)\), \((2; -2)\).

б) \(\begin{cases}2x^2+xy=16,\\ 3x^2+xy-x=18\end{cases}\)

\(\begin{cases} xy=16 - 2x^2,\\ xy=18 + x -3x^2 \end{cases}\)

\(16 - 2x^2 = 18 + x -3x^2\)

\(16 - 2x^2 - 18 - x + 3x^2 = 0\)

\(x^2 - x - 2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = \)

\(= 1 + 8 = 9> 0\)  - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{1 + 3}{2\cdot1} = \frac42 = 2\),

\(x_2 = \frac{1 - 3}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

Если \(x = 2\), то

\( 2y=16 - 2\cdot2^2\)

\(2y = 16 - 2\cdot4 \)

\(2y = 16 - 8 \)

\(2y=8\)

\(y = \frac82\)

\(y = 4\)

Если \(x = -1\), то

\( -y=16 - 2\cdot(-1)^2\)

\(-y = 16 - 2\)

\(-y = 14\)

\(y = -14\)

Ответ: \((2,4),\,(-1,-14)\).

Пояснения:

В каждом случае при решении системы уравнений использовали метод подстановки.

В пункте а) из первого уравнения выразили \(x^2\) и подставили полученное выражение во второе уравнение. Решили уравнение относительно переменной \(y\) и для каждого значения переменной \(y\) нашли соответствующие значения переменной \(x\).

В пункте б) из первого уравнения выразили \(xy\) и подставили в второе уравнение. Решили уравнение относительно переменной \(x\) и для каждого значения переменной \(x\) нашли соответствующие значения переменной \(y\).