Упражнение 1324 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 287

а) \(\begin{cases}(2x-y)(2x+y)=3,\\ 2y-3(x+y)=-4\end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x^2 - y^2=3,\\ 2y-3x-3y=-4\end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x^2 - y^2=3,\\ -3x-y=-4\end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x^2 - (4-3x)^2=3,\\ y=4 - 3x\end{cases}\)

\(4x^2 - (4-3x)^2=3\)

\(4x^2 - (16 - 24x + 9x^2) - 3 = 0\)

\(4x^2 - 16 + 24x - 9x^2 - 3 = 0\)

\(-5x^2 +24x -19=0\)    \(/\times(-1)\)

\(5x^2 - 24x + 19 = 0\)

\(a = 5\),   \(b = -24\),   \(c = 19\).

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-24)^2 - 4\cdot5\cdot19 = \)

\(=576 - 380 = 196 > 0\) - уравнение имеет 2 действительных корня.

\(\sqrt D = \sqrt {196} = 14\).

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{24 + 14}{2\cdot5} = \frac{38}{10} = 3,8\).

\(x_2 = \frac{24 - 14}{2\cdot5} = \frac{10}{10} = 1\).

Если \(x = 3,8\), то

\(y=4 - 3\cdot 3,8 = 4 - 11,4 = -7,4\).

Если \(x = 1\), то

\(4 = 4 - 3\cdot1 = 4 - 3 = 1\).

Ответ: \((3,8; -7,4)\) и \((1,1)\).

б) \(\begin{cases}2(x-y)+y=5,\\ (2x-y)^2=5x+15\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x-2y+y=5,\\ 4x^2 - 4xy + y^2-5x-15=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x-y=5,\\ 4x^2 - 4xy + y^2-5x-15 = 0\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=2x - 5,\\ 4x^2 - 4x(2x - 5) + (2x-5)^2-5x-15 = 0\end{cases}\)

\(4x^2 - 4x(2x - 5) + (2x-5)^2-5x-15 = \)

\({\color{blue}{\cancel{4x^2}}} - {\color{blue}{\cancel{8x^2}}} + {\color{red}{\cancel{20x}}} + {\color{blue}{\cancel{4x^2}}} - {\color{red}{\cancel{20x}}} + 25 - 5x - 15 = 0\)

\(10 - 5x = 0\)

\(-5x = - 10\)

\(x = \frac{-10}{-5}\)

\(x = 2\)

\(y=2\cdot2 - 5 = 4-5 = -1\)

Ответ: \((2,-1)\).

Пояснения:

Каждую систему решаем методом подстановки.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки:

1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;

5) вычислить значение другой переменной;

6) записать ответ.

При выполнении преобразований использованы следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a+b) = a^2 - b^2\);

- распределительное свойство умножения:

\(a(b\pm c) = ab \pm ac\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- раскрытие скобок:

\(-(a - b) = -a + b\);

- свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).