Упражнение 1328 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 287

\[ \begin{cases} xy = -2,\\ (x - y)^2 + x + y = 10 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = -2,\\ x^2 -2xy + y^2 + x + y = 10 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = -2,\\ x^2 -2\cdot(-2) + y^2 + x + y = 10 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = -2,\\ x^2 + 4 + y^2 + x + y = 10 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = -2,\\ (x^2 + 2xy + y^2) -2xy +4 + x + y = 10 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = -2,\\ (x^2 + 2xy + y^2) -2\cdot(-2) +4 + x + y = 10 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = -2,\\ (x + y)^2 + 4 + 4 + x + y - 10 = 0 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = -2,\\ (x + y)^2 + (x + y) - 2 = 0 \end{cases} \]

\((x + y)^2 + (x + y) - 2 = 0 \)

Пусть \(x + y = m\), тогда

\(m^2 +m -2=0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -2\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=1^2 -4\cdot1\cdot(-2)=\)

\(=1+ 8 = 9 >0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(m_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a},\)   \(\sqrt D = 3\).

\(m_1=\frac{-1+3}{2\cdot1} = \frac22 = 1,\)

\(m_2=\frac{-1-3}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2.\)

1) \( \begin{cases} xy = -2,\\ x+y=1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x(1 - x) = -2,\\ y=1 - x \end{cases} \)

\(x(1 - x) = -2\)

\(x -x^2 + 2 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(x^2-x -2=0\)

\(a = 1\),  \(b= -1\),  \(c= -2\)

\(D = (-1)^2 -4\cdot 1\cdot(-2)=\)

\(=1 + 8 = 9>0\) -  уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = 3\).

\(x_1=\frac{1+3}{2\cdot1} = \frac42 = 2\).

\(x_2=\frac{1-3}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

Если \(x = 2\), то

\(y=1 - 2 = -1\).

Если \(x = -1\), то

\(y=1 - (-1) =1+1= 2\).

2) \( \begin{cases} xy = -2,\\ x+y=-2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x(-2-x) = -2,\\ y=-2 - x \end{cases} \)

\(x(-2-x) = -2\)

\(-2x -x^2 + 2 =0\)    \(/\times (-1)\)

\(x^2 +2x - 2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -2\)

\(D = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-2) =\)

\(=4 + 8 = 12 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot3} = 2\sqrt3\)

\(x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt3}{2\cdot1}=\frac{2(-1 + \sqrt3)}{2}=\)

\(=-1 + \sqrt3\).

\(x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt3}{2\cdot1}=\frac{2(-1 - \sqrt3)}{2}=\)

\(=-1 - \sqrt3\).

Если \(x=-1 + \sqrt3\), то

\(y=-2 - (-1 + \sqrt3)=\)

\(=-2 +1- \sqrt3 = -1 - \sqrt3.\)

Если \(x=-1 - \sqrt3\), то

\(y=-2 - (-1 - \sqrt3)=\)

\(=-2 +1+ \sqrt3 = -1 + \sqrt3.\)

Ответ: \( (2;-1),\ (-1;2),\)

\((-1+\sqrt{3};-1-\sqrt{3}),\)

\((-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}). \)

Пояснения:

Сначала во втором уравнении применили формулу квадрата разности двух выражений:

\(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\).

Согласно первому уравнению систему \(xy = -2\), тогда, выполнив подстановку, второе уравнение системы принимает вид:

\(x^2 + 4 + y^2 + x + y = 10\).

Учитывая то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, второе уравнение системы примет следующий вид:

\((x + y)^2 + (x + y) - 2 = 0\).

Далее решаем полученное уравнение через введение новой переменной: \(x + y = m\). Квадратное уравнение, которое получается после введения новой переменной, имеет 2 корня: \(m_1 = 1\) и \(m_2 = -2.\)

Возвращаясь к исходным переменным, получим две системы, каждую из которых решаем способом подстановки. Получаем, что исходная система имеет 4 решения.