Вернуться к содержанию учебника
№1322 учебника 2023-2025 (стр. 286):
Докажите, что система уравнений не имеет решений:
а) \( \begin{cases} x^{2}+y^{2}=0{,}09,\\ y=x^{2}+1; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} y=x^{2}+5,\\ y+x^{2}=-2. \end{cases} \)
№1322 учебника 2023-2025 (стр. 286):
Вспомните:
№1322 учебника 2023-2025 (стр. 286):
а) \( \begin{cases} x^{2}+y^{2}=0{,}09,\\ y=x^{2}+1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x^{2}+(x^{2}+1)^{2}=0{,}09,\\ y=x^{2}+1 \end{cases} \)
\(x^{2}+(x^{2}+1)^{2}=0{,}09\)
\( x^{2}+x^{4} + 2x^2+1-0{,}09 =0\)
\(x^4 + 3x^2 +0,91 = 0\)
Пусть \(x^2 = y\) и \(y \ge 0\).
\(y^2 + 3y + 0,91 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 0,91\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=3^2 - 4\cdot1\cdot 0,91=\)
\(=9 - 3,64 = 5,36 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\(y_1 = \frac{-3 + \sqrt {5,36}}{2} < 0\) - не удовлетворяет условию \(y \ge 0\).
\(y_2 = \frac{-3 - \sqrt {5,36}}{2} < 0\) - не удовлетворяет условию \(y \ge 0\).
Значит, система не имеет решений. Что и требовалось доказать.
б) \( \begin{cases} y=x^{2}+5,\\ y+x^{2}=-2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} y=x^{2}+5,\\ x^{2}+5+x^{2}=-2 \end{cases} \)
\(x^{2}+5+x^{2}=-2\)
\(2x^2 + 5 = -2\)
\(2x^2 = -2 - 5\)
\(2x^2 = -7\)
\(x^2 = \frac{-7}{2}\)
\(x^2 = -3,5 < 0\) - не имеет корней.
Значит, система не имеет решений. Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство. Если хотя бы одно уравнение системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.
Каждую систему решаем способом подстановки и после подстановки получаем уравнение, которое не имеет корней, значит, система решений не имеет.
а) После подстановки получаем биквадратное уравнение, которое решаем заменой переменной \(x^2 = y\), учитывая то, что \(y \ge 0\) (квадрат любого числа принимает только неотрицательные значения). После замены переменной получаем квадратное уравнение, которое имеет два корня, но они оба отрицательные, что противоречит условию \(y \ge 0\). Следовательно, система не имеет решений.
б) После подстановки получаем неполное квадратное уравнение, из которого имеем \(x^2 = -3,5\), чего не может быть, так как квадрат любого числа принимает только неотрицательные значения, значит, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.
Вернуться к содержанию учебника