Упражнение 666 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Средняя скорость на всем пути \(37,5\) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{2S}{\frac{S}{x} ^{\color{blue}{\backslash x-20}} +\frac{S}{x-20} ^{\color{blue}{\backslash x}} }=37{,}5 \)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x-20 \neq0\)

                          \(x \neq 20\)

\( \frac{2S}{\frac{S(x-20)+Sx}{x(x-20)} }=37{,}5 \)

\( \frac{2S}{\frac{S(x-20+x)}{x(x-20)} }=37{,}5 \)

\( \frac{2S}{\frac{S(2x-20)}{x(x-20)} }=37{,}5 \)

\(2S : \frac{S(2x-20)}{x(x-20)}=37,5\)

\(\cancel{2S} \cdot \frac{x(x-20)}{\cancel{2S}(x-10)}=37,5\)

\(\frac{x(x-20)}{x-10}=\frac{375}{10}\)   \(/\times 10(x-10)\)

\(10x(x-20) = 375(x-10)\)

\(10x^2 -200x = 375x -3750\)

\(10x^2 -200x - 375x +3750=0\)

\(10x^2-575x+3750=0\)  \( / : 5\)

\(2x^2-115x+750=0\)

\(a = 2\),  \(b = -115\),  \(c = 750\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-115)^2 -4\cdot2\cdot750=\)

\(=13225 - 6000 = 7225\), 

\(\sqrt D = 85\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-115)+85}{2\cdot2}=\frac{200}{4}=50\).

\( x_2 = \frac{-(-115)-85}{2\cdot2}=\frac{30}{4}=7,5\) - не удовлетворяет условию (\(x>20\)).

Ответ: скорость мотоциклиста на первой половине пути \(50\) км/ч.

Пояснения:

Чтобы найти среднюю скорость движения, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения.

Пусть расстояние в одну половину пути равно \(s\). Тогда время на каждой половине пути:

 \( t_1=\frac{s}{x},\qquad t_2=\frac{s}{x-20}. \)

Средняя скорость на всём пути (две равные половины):

\( v_{\text{ср}}=\frac{2s}{t_1+t_2}=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x-20}}. \)

Учитывая то, что \(v_{\text{ср}}=12\) получим дробное рациональное уравнение:

\(\frac{x(x-20)}{x-10}=\frac{375}{10}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(2x^2-115x+750=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 50\) и \(x_2 = 7,5\).

На второй половине пути мотоциклист снизил на \(20\) км/ч, значит, корень \(7,5\) не подходит (\(7,5 - 20 <0\)\).

Значит, скорость мотоциклиста на первой половине пути 50 км/ч.

Пусть лошадь купили за \(x\) пистолей.

Потеря составила:

\(\dfrac{x}{100} \cdot x = \dfrac{x^2}{100}=0,01x^2\).

Составим уравнение:

\(x - 0,01x^2 = 24\)     \(/\times100\)

\(100x - x^2 = 2400\)

\(x^2 - 100x + 2400 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -100\),  \(c = 2400\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\( = 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 =\)

\(=10000 - 9600 = 400\),    \(\sqrt D = 20\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-(-100) + 20}{2}= \frac{120}{2} = 60\).

\(x_2 = \frac{-(-100) - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40\).

Ответ: за 40 или 60 пистолей.

Пояснения:

В задаче используется понятие процента. Потеря составила столько процентов, сколько стоила сама лошадь.

Если цена покупки равна \(x\), то процент потерь равен \(x\%\). Потеря в деньгах будет: \[\frac{x}{100} \cdot x = \frac{x^2}{100}.\]

Продажная цена равна: \[x - \frac{x^2}{100} = 0,01x^2.\]

По условию она равна 24, что привело к квадратному уравнению.

Оно дало два ответа: \(40\) и \(60\). Оба удовлетворяют условию.

Таким образом, лошадь могла быть куплена либо за \(40\), либо за \(60\) пистолей.