Упражнение 668 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{xy}{x+y}\)

Если \(x=5+2\sqrt{6}\), \(y=5-2\sqrt{6}\), то

\(\frac{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}{(5+2\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6})}=\)

\(=\frac{5^2-(2\sqrt{6})^2}{5+\cancel{2\sqrt{6}}+5-\cancel{2\sqrt{6}}}=\)

\(=\frac{25-4\cdot6}{10}=\frac{25-24}{10}=\)

\(=\frac{1}{10}=0,1.\)

б) \(\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{xy}\)

Если \(x=\sqrt{11}+\sqrt{3}\), \(y=\sqrt{11}-\sqrt{3}\), то

\(\frac{(\sqrt{11}+\sqrt{3})^2+(\sqrt{11}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{11}+\sqrt{3})(\sqrt{11}-\sqrt{3})}=\)

\(=\frac{(\sqrt{11})^2+\cancel{2\sqrt{33}}+(\sqrt{3})^2+(\sqrt{11})^2-2\cancel{\sqrt{33}}+(\sqrt{3})^2}{(\sqrt{11})^2-(\sqrt{3})^2}=\)

\(=\frac{11+3+11+3}{11-3}=\frac{28}{8}=\frac72=3,5\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

- Разность квадратов двух выражений:

\( (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\).

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a+ b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. \)

- Квадрат разности двух выражений:

\((a- b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. \)

- Свойства корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt a\cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\).

- Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Пусть ширина листа картона равна \(x\) см, тогда его длина равна \(1,5x\) см.

После вырезания квадратов со стороной \(8\) см размеры основания коробки будут:

\((x - 16) \) см и \( (1,5x - 16)\) см.

Высота коробки равна \(8\) см.

Составим уравнение:

\((x - 16)(1,5x - 16) \cdot 8 = 6080\)    \(/ : 8\)

\((x - 16)(1,5x - 16) = 760\)

\(1,5x^2 - 16x - 24x + 256 - 760 = 0\)

\(1,5x^2 - 40x - 504 = 0\)   \( / \times2\)

\(3x^2 - 80x - 1008 = 0\)

\(a = 3\),  \(k=\frac{b}{2} = -40\),  \(c = -1008\)

\( D_1=k^2 - ac=\)

\(= (-40)^2 - 3 \cdot (-1008) =\)

\(=1600 + 3024 = 4624\),   \(\sqrt{D} = 68.\)

\(x_{1,2} = \frac{-k\pm \sqrt D}{a}\)

\(x = \frac{-(-40) + 68}{3} = \frac{108}{3} = 36\).

\(x_2 = \frac{-(-40) - 68}{3} = \frac{-28}{3} = -9\frac13\) - не удовлетворяет условию.

1) \(36\) (см) - ширина листа.

2) \(1,5 \cdot 36 = 54\) - длина листа.

Ответ: ширина листа картона \(36\) см}, а длина \(54\) см.

Пояснения:

Мы обозначили ширину картона за \(x\), а длину — \(1,5x\), так как по условию длина в \(1,5\) раза больше ширины.

После вырезания по углам квадратов со стороной \(8\) см размеры основания коробки уменьшаются на \(16\) см по каждому измерению.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда:

\(V = a \cdot b \cdot h\),

где \(a\) и \(b\) - длина и ширина основания, \(h\) - высота.

Подставив данные, получили квадратное уравнение.

При решении квадратного уравнения использовали упрощенный дискриминант \(D_1=k^2-ac\) (для четного коэффициента \(b\)), так как числа получаются большие. Уравнение имеет два корня: \(36\) и \(-9\frac13\). Отрицательный корень не подходит, так как ширина не может быть отрицательным числом.

Значит, ширина картона равна \(36\) см, а длина равна:

\(1,5 \cdot 36 = 54\) см.