Упражнение 663 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть второй кран выполняет работу за \(x\) часов, тогда первый — за \(x+5\) часов. Тогда производительность второго крана \(\frac{1}{x}\), а первого - \(\frac{1}{x+5}\).

Составим уравнение:

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6} \)  \(/\times 6x(x + 5)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x + 5 \neq0\)

                          \(x \neq -5\)

\(6(x +5) +6x = x(x+5)\)

\(6x + 30 +6x = x^2 +30x\)

\(12x + 30 = x^2 + 5x\)

\(x^2 + 5x - 12x -30=0\)

\(x^2 - 7x -30 = 0\) 

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c =-30\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-7)^2 - 4\cdot1\cdot(-30) =\)

\(=49 + 120 = 169\),   \(\sqrt D = 13\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-7)+13}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\).

\( x_2 = \frac{-(-7)-13}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3\) - не удовлетворяет условию.

1) \(10\) (ч) - потребуется второму крану.

2) \(10 + 5 = 15 \) (ч) - потребуется первому крану.

Ответ: \(10\) ч и \(15\) ч.

Пояснения:

Пусть второй кран выполняет работу за \(x\) часов, тогда первый — за \(x+5\) часов. Тогда производительность второго крана \(\frac{1}{x}\), а первого - \(\frac{1}{x+5}\).  При совместной работе производительность двух кранов равна \(\dfrac{1}{6}\) (так как всю работу они выполняют за \(6\) ч). Значит, можем составить дробное рациональное уравнение:

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6} \).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 - 7x -30 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 10\) и \(x_2 = -3\).

Отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом.

Значит, 10 ч потребовалось бы второму крану для разгрузки баржи.

Первому крану для разгрузки баржи потребуется на \(5\) ч больше, значит, первому крану потребуется:

\(10 + 5 = 15 \) (ч).

Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\). Тогда вторая сторона:

\((28 - 2x) : 2 = 14-x \).

Сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна \(116\) см².

Составим уравнение:

\( x^2+(14-x)^2=116 \)

\( x^2+196-28x+x^2=116 \)

\( 2x^2-28x+196=116 \)

\( 2x^2-28x+80=0 \)    \(/ : 2\)

\( x^2-14x+40=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -14\),  \(c = 40\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-14)^2-4\cdot1\cdot 40=\)

\(=196-160=36 \),    \(\sqrt D = 6\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x=\frac{-(-14)+ 6}{2\cdot1} =\frac{20}{2}=10\).

\( x_2=\frac{-(-14)- 6}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4 \).

1) \(10\) (см) - первая сторона прямоугольника.

\(14-10=4\) (см) - вторая сторона прямоугольника.

2) \(4\) (см) - первая сторона прямоугольника.

\(14 - 4 = 10\) (см) - вторая сторона прямоугольника.

Ответ: стороны прямоугольника равны \(10\) см и \(4\) см.

Пояснения:

Вводим обозначения для сторон прямоугольника, учитывая то, что периметр прямоугольника равен \(28\) см. Составляем уравнение по условию: сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна \(116\) см²:

\( x^2+(14-x)^2=116 \).

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Затем приводим подобные и получаем полное квадратное уравнение, которое имеет два корня, что соответствует первой стороне прямоугольника. Далее находим соответствующее значение второй стороны.