Упражнение 580 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{2}-15x-16=0\)

\(a = 1\),  \(b = -15\),  \(c = -16\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-15)^{2}-4\cdot1\cdot(-16)=\)

\(=225+64=289,\)    \(\sqrt D=17\).

\( x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \)

\(x_1=\dfrac{-(-15)+17}{2\cdot1}=\frac{32}{2}=16\),

\(x_2=\dfrac{-(-15)-17}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1\).

Проверка:

1) \(x_{1}+x_{2}=15\)

\(x_{1}+x_{2}=16+(-1)=15\) - верно.

2) \(x_{1}\cdot x_{2}=-16\)

\(16\cdot(-1)=-16\) - верно.

Ответ: \(16; -1\).

б) \(m^{2}-6m-11=0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = -11\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot(-11)=\)

\(=36+44=80,\)

\(\sqrt D=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt5\).

\( m_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\dfrac{-(-6)\pm4\sqrt5}{2\cdot1}=\)

\(=\dfrac{\cancel2(3\pm2\sqrt5)}{\cancel2}=3\pm2\sqrt5\).

\(m_1 = 3+2\sqrt5\),

\(m_2 = 3-2\sqrt5\).

Проверка:

\(m_1+m_2 = 6\)

\( (3+2\sqrt5)+(3-2\sqrt5)=6\) - верно.

\(m_1+m_2 = -11\)

\((3+2\sqrt5)\cdot(3-2\sqrt5)=\)

\(=3^2 - (2\sqrt5)^2 =9-4\cdot5=\)

\(=9-20=-11\) - верно.

Ответ: \(3+2\sqrt5; 3-2\sqrt5\).

в) \(12x^{2}-4x-1=0\)

\(a=12\),  \(b=-4\),  \(c = -1\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-4)^{2}-4\cdot12\cdot(-1)=\)

\(=16+48=64,\)    \(\sqrt D=8\).

\( x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \)

\(x_1=\dfrac{-(-4)+8}{2\cdot12}=\dfrac{12}{24}=\dfrac12,\)

\(x_{2}=\dfrac{-(-4)-8}{2\cdot12}=\dfrac{-4}{24}=-\dfrac16\).

Проверка:

\(x_1+x_2 = \frac{4}{12}=\frac13\)

\(\dfrac12 ^{\color{blue}{\backslash3}} +(-\dfrac16)=\frac36 - \frac16=\)

\(=\frac26=\dfrac13\) - верно.

\(x_1\cdot x_2 = -\frac{1}{12}\)

\(\dfrac12\cdot\left(-\dfrac16\right)=-\dfrac{1}{12}\) - верно.

Ответ: \(\frac{1}{2};  -\frac{1}{6}\).

г) \(t^{2}-6=0\)

\(a=0\),  \(b = 0\),  \(c=-6\)

\(t^{2}=6\)

\( t_1=-\sqrt6\)  и   \( t_2=\sqrt6\) 

Проверка:

\(t_1+t_2 =0\)

\(-\sqrt6+\sqrt6 = 0\) - верно.

\(t_1\cdot t_2 =-6\)

\(\sqrt6\cdot(-\sqrt6)=-6\) - верно.

Ответ: \(-\sqrt6;  \sqrt6\).

д) \(5x^{2}-18x=0\)

\(a=5\),  \(b = -18\),  \(c = 0\)

\( x(5x-18)=0\)

\(x_1=0\)  и   \(5x-18=0\)

                    \(5x = 18\)

                    \( x_2=\dfrac{18}{5}\)

                    \( x_2=3,6\)

Проверка:

1) \(t_1+t_2 =\dfrac{18}{5}=3,6\)

\(0+3,6=3,6\) - верно.

2) \(t_1\cdot t_2 =0\)

\(0\cdot3,6=0\) - верно.

Ответ: \(0;  3,6\).

е) \(2y^{2}-41=0\)

\(a = 2\),  \(b = 0\),  \(c = -41\)

\(2y^{2}=41\)

\(y^{2}=\dfrac{41}{2}\)

\(y^{2}=20,5\)

\(y_1=-\sqrt{20,5}\)   и   \(y_2=\sqrt{20,5}\)

Проверка:

1) \(y_1+y_2 =0\)

\(-\sqrt{20,5}+\sqrt{20,5}=0\) - верно.

2) \(y_1\cdot y_2 =-\frac{41}{2} = -20,5\)

\(-\sqrt{20,5}\cdot\sqrt{20,5} = -20,5\) - верно.

Ответ: \(-\sqrt{20,5}; \sqrt{20,5}\).

---

Пояснения:

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

Неполные квадратные уравнения:

1) Уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\) решается разложением на множители \(x(ax + b) =0\) откуда

\(x=0\) или \(x=-\frac{b}{a}\).

2) Уравнение вида \(ax^2=b\) имеет корни \(x_1=-\sqrt{\frac{b}{a}}\)  и \(x_2=\sqrt{\frac{b}{a}}\).

Теорема, обратная теореме Виета:

если числа \(x_1, x_2\) удовлетворяют равенствам

\(\;x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \(\;x_1x_2=\frac{c}{a}\),

то они — корни уравнения

\(ax^2+bx+c=0\).

Использованные приемы:

- Разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a+b) = a^2 - b^2\).

- Свойства корня:

\((\sqrt a)^2 = a\),

\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot\sqrt b\);

\(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\).

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

а) \(x^{2}-37x+27=0\)

\(a=1,\;b=-37,\;c=27\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=(-37)^2 -4\cdot1\cdot27=\)

\(=1369 - 108 = 1261 >0\).

\(x_1+x_2=37\)

\(x_1\cdot x_2=27.\)

б) \(y^{2}+41y-371=0\)

\(a=1,\;b=41,\;c=-371\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=41^2 - 4\cdot1\cdot(-371) =\)

\( = 1681 - 1484 = 3165 >0\).

\(x_1+x_2=-41\)

\(x_1\cdot x_2=-371.\)

в) \(x^{2}-210x=0\)

\(a=1,\;b=-210,\;c=0\)

\(x_1+x_2=210\)

\(x_1\cdot x_2=0.\)

г) \(y^{2}-19=0\)

\(a=1,\;b=0,\;c=-19\)

\(x_1+x_2=0\)

\(x_1\cdot x_2=-19.\)

д) \(2x^{2}-9x-10=0\)     \(/ : 2\)

\(x^{2}-4,5x-5=0\)

\(a=1,\;b=-4,5,\;c=-5\)

\(D=b^2 - 4ac = \)

\(=(-4,5)^2 - 4\cdot1\cdot(-5)=\)

\(=20,25 + 20 = 40,25 > 0\).

\(x_1+x_2=4,5\)

\(x_1\cdot x_2=-5.\)

е) \(5x^{2}+12x+7=0\)      \(/ : 5\)

\(x^{2}+2,4x+1,4=0\) 

\(a=1,\;b=2,4,\;c=1,4\)

\(x_1+x_2=-2,4\)

\(x_1\cdot x_2=1,4.\)

ж) \(-z^{2}+z=0\)   \(/\times (-1)\)

\(z^{2}-z=0\) 

\(a=1,\;b=-1,\;c=0\)

\(x_1+x_2=1\)

\(x_1\cdot x_2=0.\)

з) \(3x^{2}-10=0\)      \(/ : 3\)

\(3x^{2}-\frac{10}{3}=0\)

\(x^{2}-3\frac{1}{3}=0\)

\(a=3,\;b=0,\;c=-10\)

\(x_1+x_2=0\)

\(x_1\cdot x_2=-3\frac{1}{3}.\)

---

Пояснения:

Полное квадратное уравнение:

\(ax^2 +bx + c =0\).

У приведенного квадратного уравнения:

\(a = 1\), то есть уравнение имеет вид:

\(x^2 +bx + c =0\).

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Если корни приведенного уравнения \(x_{1}\) и \(x_{2}\), то:

\(x_{1}+x_{2}=-b\),

\(x_{1}\cdot x_{2}=c\).

Если уравнение не приведенное, то обе части уравнения делим на коэффициент \(a\).

Также в полных квадратных уравнениях проверяем знак дискриминанта, чтобы определить наличие корней:

• \(D>0\) - 2 корня.
• \(D = 0\) - 1 корень.
• \(D< 0\) - нет корней.

В неполных квадратных уравнениях при (\(b=0\)) сумма корней равна нулю; при \(c=0\) произведение корней равно нулю.