Упражнение 579 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{2}-2x-9=0\)

\(a=1,b=-2,c=-9\).

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-2)^2 -4\cdot1\cdot(-9)=\)

\(=4+36=40\).

\(\sqrt D = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\).

\( x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}=\frac{-(-2)\pm2\sqrt{10}}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{2(1\pm\sqrt{10})}{2}=1\pm\sqrt{10}. \)

\(x_1 = 1+\sqrt{10}\)

\(x_2 = 1-\sqrt{10}\)

Проверка:

1) \(x_1+x_2 = 2\)

\((1+\sqrt{10})+(1-\sqrt{10}) =\)

\(=1+\cancel{\sqrt{10}}+1-\cancel{\sqrt{10}} =2\) - верно.

2) \(x_1\cdot x_2 = -9\)

\((1+\sqrt{10})\cdot(1-\sqrt{10}) = 1^2 - (\sqrt{10})^2=\)

\(=1 - 10= -9\) - верно.

б) \(3t^{2}-4t-4=0\)

\(a=3,b=-4,c=-4\).

\(D=b^2-4ac=\)

\(=(-4)^2-4\cdot3\cdot(-4)=\)

\(=16+48=64\);    \(\sqrt D = 8\).

\( t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(t_1=\frac{-(-4)+8}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2\)

\(t_2=\frac{-(-4)-8}{2\cdot3}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}. \)

Проверка:

1) \(t_1+t_2 = \frac43\)

\(2 + (-\frac23) = \frac63 - \frac23 = \frac43\) - верно.

2) \(t_1\cdot t_2 = -\frac43\)

\(2 \cdot (-\frac23) =-\frac43\) - верно.

в) \(2z^{2}+7z-6=0\)

\(a=2,b=7,c=-6\).

\(D=b^2 - 4ac=7^2 - 4\cdot2\cdot(-6)=\)

\(=49+48=97\);    \(\sqrt D = \sqrt{97}\).

\( z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(z_1=\frac{-7+\sqrt{97}}{2\cdot2}=\frac{-7+\sqrt{97}}{4}, \)

\(z_2=\frac{-7-\sqrt{97}}{2\cdot2}=\frac{-7-\sqrt{97}}{4}. \)

Проверка:

1) \(z_1+z_2 = -\frac72\)

\(\frac{-7+\sqrt{97}}{4} + \frac{-7-\sqrt{97}}{4}=\)

\(=\frac{-7+\cancel{\sqrt{97}}-7-\cancel{\sqrt{97}}}{4}=\)

\(=-\frac{14}{4}=-\frac72\) - верно.

2) \(z_1\cdot z_2 = -\frac62=-3\)

\(\frac{-7+\sqrt{97}}{4} \cdot \frac{-7-\sqrt{97}}{4}=\)

\(=\frac{-(7-\sqrt{97})}{4} \cdot \frac{-(7+\sqrt{97})}{4}=\)

\(=\frac{(7-\sqrt{97})(7+\sqrt{97})}{16} =\)

\(=\frac{7^2-(\sqrt{97})^2}{16} =\frac{49 - 97}{16} =\)

\(=-\frac{48}{16} = -3\) - верно.

г) \(2t^{2}+9t+8=0\)

\(a=2,b=9,c=8\).

\(D=b^2 - 4ac=9^2 - 4\cdot2\cdot8=\)

\(=81-64=17\);     \(\sqrt D = \sqrt{17}\).

\( t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( t_1=\frac{-9+\sqrt{17}}{2\cdot2}=\frac{-9+\sqrt{17}}{4},\)

\( t_1=\frac{-9-\sqrt{17}}{2\cdot2}=\frac{-9-\sqrt{17}}{4}.\)

Проверка:

1) \(t_1+t_2 = -\frac92\)

\(\frac{-9+\sqrt{17}}{4}+\frac{-9-\sqrt{17}}{4}=\)

\(=\frac{-9+\sqrt{17}-9-\sqrt{17}}{4}=\)

\(=\frac{-18}{2} = -\frac92\) - верно.

2) \(t_1\cdot t_2 = -\frac82=4\)

\(\frac{-9+\sqrt{17}}{4}\cdot\frac{-9-\sqrt{17}}{4}=\)

\(=\frac{-(9-\sqrt{17})}{4}\cdot\frac{-(9+\sqrt{17})}{4}=\)

\(=\frac{(9-\sqrt{17})(9+\sqrt{17})}{16}=\)

\(=\frac{9^2-(\sqrt{17})^2}{16}=\frac{81-17}{16}=\)

\(=\frac{64}{16} = 4\) - верно.

Пояснения:

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

Теорема, обратная теореме Виета:

если числа \(x_1, x_2\) удовлетворяют равенствам

\(\;x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \(\;x_1x_2=\frac{c}{a}\),

то они — корни уравнения

\(ax^2+bx+c=0\).

Использованные приемы:

- Разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a+b) = a^2 - b^2\).

- Противоположные выражения:

\(a - b = - (b-a)\).

- Свойства корня:

\((\sqrt a)^2 = a\),

\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot\sqrt b\).

\(y=13x-2{,}6\)

С осью \(x\): \(y=0\).

\(13x-2{,}6=0\)

\(13x=2{,}6\)

\(x=\frac{2{,}6}{13}\)

\(x=0{,}2.\)

\(\;(0{,}2;\,0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

С осью \(y\): \(x=0\).

\(y=13\cdot0-2{,}6=-2{,}6.\)

\(\;(0;\,-2{,}6)\) - точка пересечения с осью \(y\).

Пояснения:

График линейной функции \(y=kx+b\) пересекает ось \(x\) там, где \(y=0\). Поэтому решаем уравнение

\(kx+b=0\), получая \(x=-\dfrac{b}{k}\).

Пересечение с осью \(y\) получается при \(x=0\). Поэтому подставляем нуль вместо \(x\) в уравнение прямой и вычисляем \(y\).