Упражнение 1087 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а)  \( \begin{cases} 2u + 5v = 0,\\ -8u + 15v = 7; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2u = -5v,\\ -8u + 15v = 7; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = -\frac{5}{2}v,\\ -8\cdot(-\frac{5}{2}v) + 15v = 7; \end{cases} \)

\(-8\cdot(-\frac{5}{2}v) + 15v = 7\)

\(^4\cancel{8}\cdot\frac{5}{\cancel2}v + 15v = 7\)

\(20v + 15v = 7\)

\(35v = 7\)

\(v = \frac{7}{35}\)

\(v = \frac{1}{5}\)

\(u = -\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{5}\)

\(u = -\frac{1}{2}\)

Ответ: \(u = -\frac{1}{2}\), \(v = \frac{1}{5}\).

б) \( \begin{cases} 5p - 3q = 0,\\ 3p + 4q = 29; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5p = 3q,\\ 3p + 4q = 29; \end{cases} \)

\( \begin{cases} p = \frac{3}{5}q,\\ 3\cdot\frac{3}{5}q + 4q = 29; \end{cases} \)

\(3\cdot\frac{3}{5}q + 4q = 29\)

\(\frac{9}{5}q + 4q = 29\)

\(1\frac{4}{5}q + 4q = 29\)

\(5\frac{4}{5}q = 29\)

\(q = 29 : 5\frac{4}{5}\)

\(q = 29 : \frac{29}{5}\)

\(q = \cancel{29} \cdot\frac{5}{\cancel{29}}\)

\(q =5\)

\(p = \frac{3}{\cancel5}\cdot\cancel5=3\)

Ответ: \(p =3,\) \(q =5.\)

в) \( \begin{cases} 4u + 3v = 14,\\ 5u - 3v = 25; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3v = 14 - 4u,\\ 5u - 3v = 25; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v = \tfrac{14 - 4u}{3},\\ 5u - 3\cdot\tfrac{14 - 4u}{3} = 25; \end{cases} \)

\( 5u - \cancel3\cdot\frac{14 - 4u}{\cancel3} = 25\)

\(5u - (14 - 4u) = 25\)

\(5u - 14 + 4u = 25\)

\(9u = 25 + 14\)

\(9u = 39\)

\(u = \frac{39}{9}= \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}\)

\( v = \frac{14 - 4\cdot4\tfrac{1}{3}}{3}=\)

\(=\frac{14 - 4\cdot\frac{13}{3}}{3} = \frac{14 - \frac{52}{3}}{3} =\)

\(= \frac{\frac{42 - 52}{3}}{3} =\frac{-\tfrac{10}{3}}{3}= -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9}. \)

Ответ: \(u = 4\frac{1}{3},\) \(v = -1\frac{1}{9}. \)

г) \( \begin{cases} 10p + 7q = -2,\\ 2p - 22 = 5q. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10p + 7q = -2,\\ 2p = 5q + 22. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10\cdot\tfrac{5q + 22}{2}+ 7q = -2,\\ p = \tfrac{5q + 22}{2}. \end{cases} \)

\( ^2\cancel{10}\cdot\frac{5q + 22}{\cancel2}+ 7q = -2\)

\(5(5q + 22) + 7q = -2\)

\(25q + 110 + 7q = -2\)

\(32q = -2 - 110\)

\(32q = -112\)

\(q = -\frac{112}{32} = -\frac{7}{2}=-3,5\)

\( p = \frac{5\cdot(-3,5) + 22}{2} = \frac{-17,5 + 22}{2} =\)

\(=\frac{4,5}{2} = 2,25. \)

Ответ: \(q = -3,5,\) \(p= 2,25. \)

Пояснения:

Метод подстановки:

1. Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2. Подставляем полученное выражение в другое уравнение, сводя систему к одному уравнению с одной неизвестной.

3. Решаем это уравнение, находим значение первой переменной.

4. Подставляем найденное значение обратно, чтобы найти вторую переменную.

а) \(M(5;5)\) и \(N(-10;-19)\).

\(y=kx+b\)

\( \begin{cases} 5 = 5k + b, \\ -19 = -10k + b. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5k + b = 5, \\ -10k + b = -19   /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5k + b = 5, \\ 10k - b = 19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 15k = 24, \\ 10k - b = 19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = \frac{24}{15}, \\ 10k - b = 19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = \frac{8}{5}, \\ 10k - b = 19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = 1,6, \\ b = 10k-19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = 1,6, \\ b = 10\cdot1,6-19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = 1,6, \\ b = 16-19 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = 1,6, \\ b = -3 \end{cases} \)

\(y=1,6x-3\)

Ответ: \(y=1,6x-3\).

б) \(P(4;1)\) и \(Q(3;-5)\).

\(y=kx+b\)

\( \begin{cases} 1 = 4k + b,\\ -5 = 3k + b. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4k + b=1,\\ 3k + b=-5.   /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4k + b=1,\\ -3k - b=5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k =6,\\ -3k - b=5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k =6,\\ b=-3k-5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k =6,\\ b=-3\cdot6-5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k =6,\\ b=-18-5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k =6,\\ b=-23. \end{cases} \)

\(y=6x-23\)

Ответ: \(y=6x-23\).

в) \(A(8;-1)\) и \(B(-4;17)\).

\(y=kx+b\)

\( \begin{cases} -1 = 8k + b,\\ 17 = -4k + b. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8k + b = -1,\\  -4k + b = 17.   /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8k + b = -1,\\  4k - b = -17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 12k = -18,\\  4k - b = -17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac{18}{12},\\  4k - b = -17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac{3}{2},\\ b = 4k + 17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1,5,\\ b = 4\cdot(-1,5)+17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1,5,\\ b = -6+17. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1,5,\\ b = 11. \end{cases} \)

\(y=-1,5x+11\)

Ответ: \(y=-1,5x+11\).

г) \(C(-19;31)\) и \(D(1;-9)\).

\(y=kx+b\)

\( \begin{cases} 31 = -19k + b,\\ -9 = 1\cdot k + b. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -19k + b=31,\\ 1\cdot k + b = -9.  /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} -19k + b=31,\\ -k - b = 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -20k=40,\\ -k - b = 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k=-\frac{40}{20},\\ b =-k - 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k=-2,\\ b =-(-2) - 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k=-2,\\ b =2 - 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k=-2,\\ b =2 - 9. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k=-2,\\ b =-7. \end{cases} \)

\(y=-2x-7\)

Ответ: \(y=-2x-7\).

Пояснения:

Используемые приёмы:

1) Уравнение линейной функции

\(y=kx+b\).

2) Составление системы из двух уравнений

\(\;y_1 = kx_1 + b,\;y_2 = kx_2 + b\),

где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты точек, через которые проходит прямая.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

5) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

6) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.