Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1090 учебника 2023-2025 (стр. 216):
Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:
а) \(5x - 4y = 16\) и \( x - 2y = 6\);
б) \(20x - 15y = 100\) и \(3x - y = 6\).
№1090 учебника 2013-2022 (стр. 218):
График линейной функции пересекает ось \(x\) в точке с абсциссой 4,а ось \(y\) в точке с ординатой 11. Задайте эту функцию формулой.
№1090 учебника 2023-2025 (стр. 216):
Вспомните:
№1090 учебника 2013-2022 (стр. 218):
Вспомните:
№1090 учебника 2023-2025 (стр. 216):
а) \( \begin{cases} 5x - 4y = 16,\\ x - 2y = 6; \end{cases} \)
\( \begin{cases} 5\cdot(6 + 2y) - 4y = 16,\\ x = 6 + 2y; \end{cases} \)
\( 5(6 + 2y) - 4y = 16\)
\(30 + 10y - 4y = 16\)
\(6y = 16- 30\)
\(6y = -14\)
\(y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}\)
\( x = 6 + 2\cdot\bigl(-2\frac{1}{3}\bigr) = \)
\(=6 - 2\cdot\frac{7}{3} = 6 - \frac{14}{3} =\)
\(=6 - 4\frac{2}{3} =5\frac33 - 4\frac{2}{3}= 1\frac{1}{3}. \)
Ответ: \( \bigl(1\frac{1}{3}, -2\frac{1}{3}\bigr)\) - координаты точки пересечения графиков.
б) \( \begin{cases} 20x - 15y = 100,\\ 3x - y = 6. \end{cases} \)
\( \begin{cases} 20x - 15(3x - 6) = 100,\\ y = 3x - 6. \end{cases} \)
\( 20x - 15(3x - 6) = 100\)
\(20x - 45x + 90 = 100\)
\(-25x= 100-90\)
\(-25x = 10\)
\(x = -\tfrac{10}{25}\)
\(x = -\tfrac{2}{5}=-0,4\)
\( y = 3\cdot(-0,4) - 6 =\)
\(=-1,2 - 6 = -7,2. \)
Ответ: \((-0,4; -7,2)\) - координаты точки пересечения графиков.
Пояснения:
Чтобы найти координаты точек пересечения графиков без их построения, нужно решить систему, состоящую из этих уравнений. Решение системы - координаты точки пересечения графиков заданных функций.
При решении систем применён метод подстановки:
– Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.
– Подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной.
– Решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной.
– Затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.
№1090 учебника 2013-2022 (стр. 218):
\(y = kx + b\)
\((4;0)\) и \((0;11)\)
\( \begin{cases} 0 = 4k + b,\\ 11 = 0\cdot k + b. \end{cases} \)
\( \begin{cases} 4k = -b,\\ b = 11. \end{cases} \)
\( \begin{cases} 4k=-11,\\ b = 11. \end{cases} \)
\( \begin{cases} k=-\frac{11}{4},\\ b = 11. \end{cases} \)
\( \begin{cases} k=-2\frac{3}{4},\\ b = 11. \end{cases} \)
\( y = -2\tfrac{3}{4}x + 11. \)
Ответ: \( y = -2\tfrac{3}{4}x + 11. \)
Пояснения:
Использованные приёмы:
1) Уравнение линейной функции
\(y=kx+b\).
2) Составление системы из двух уравнений
\(\;y_1 = kx_1 + b,\;y_2 = kx_2 + b\),
где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты точек пересечения прямой с осями координат.
3) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.
Вернуться к содержанию учебника