Упражнение 1085 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} y - 2x = 1,\\ 6x - y = 7; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1 + 2x,\\ 6x - (1 + 2x) = 7; \end{cases} \)

\( 6x - (2x + 1) = 7\)

\( 6x - 2x - 1 = 7\)

\( 4x = 7 + 1\)

\(4x = 8\)

\(x = \frac84\)

\(x = 2\)

\(y = 1 + 2\cdot2 = 1 + 4 = 5. \)

Ответ: \(x = 2,\) \(y = 5. \)

б) \( \begin{cases} 7x - 3y = 13,\\ x - 2y = 5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 7(5 + 2y) - 3y = 13,\\ x = 5 + 2y; \end{cases} \)

\( 7(5 + 2y) - 3y = 13\)

\(35 + 14y - 3y = 13\)

\(11y = -22\)

\(y=-\frac{22}{11}\)

\(y = -2\)

\(x = 5 + 2\cdot(-2) = 5 - 4 = 1. \)

Ответ: \(x = 1, \) \(y = -2.\)

в) \( \begin{cases} x + y = 6,\\ 3x - 5y = 2; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 6 - y,\\ 3(6-y) - 5y = 2; \end{cases} \)

\( 3(6 - y) - 5y = 2\)

\(18 - 3y - 5y = 2\)

\(8y = 16\)

\(y = \frac{16}{8}\)

\(y = 2\)

\(x = 6 - 2 = 4. \)

Ответ: \(x = 4,\) \(y = 2.\)

г) \( \begin{cases} 4x - y = 11,\\ 6x - 2y = 13; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 4x - 11,\\ 6x - 2(4x - 11) = 13; \end{cases} \)

\( 6x - 2(4x - 11) = 13\)

\(6x - 8x + 22 = 13\)

\(6x - 8x = 13 - 22\)

\(-2x = -9\)

\(x = \frac{9}{2} = 4,5\)

\(y = 4\cdot4,5 - 11 = 18 - 11 = 7. \)

Ответ: \(x = 4,5,\) \(y = 7. \)

д) \( \begin{cases} y - x = 20,\\ 2x - 15y = -1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 20 + x,\\ 2x - 15(20 + x) = -1; \end{cases} \)

\( 2x - 15(x + 20) = -1\)

\(2x - 15x - 300 = -1\)

\(-13x = 299\)

\(x = -\tfrac{299}{13}\)

\(x = -23\)

\(y = -23 + 20 = -3. \)

Ответ: \(x = -23,\) \(y = -3. \)

е) \( \begin{cases} 25 - x = -4y,\\ 3x - 2y = 30. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 25 + 4y,\\ 3(25 + 4y) - 2y = 30. \end{cases} \)

\( 3(25 + 4y) - 2y = 30\)

\(75 + 12y - 2y = 30\)

\(12y - 2y = 30 - 75\)

\(10y = -45\)

\(y = -\tfrac{45}{10}\)

\(y = -4,5\)

\(x = 25 + 4\cdot(-4,5) = 25 - 18 = 7. \)

Ответ: \(x = 7, \) \(y = -4,5.\)

Пояснения:

Во всех системах применён метод подстановки:

1. Из одного уравнения выражается одна переменная через другую.

2. Подстановка этого выражения в другое уравнение даёт линейное уравнение с одной переменной.

3. Решаем полученное уравнение и находим одну переменную.

4. Подставляем найденное значение обратно, чтобы найти вторую переменную.

а) \( \begin{cases} 12x - 7y = 2,\\ 4x - 5y = 6 /\times(-3) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 12x - 7y = 2,\\ -12x + 15y = -18 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8y = -16,\\ -12x + 15y = -18 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -\frac{16}{8},\\ 12x = 15y + 18 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -2,\\ 12x = 15\cdot(-2) + 18 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -2,\\ 12x = -30 + 18 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -2,\\ 12x = -12 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -2,\\ x = -1 \end{cases} \)

Ответ: \(x = -1,\) \(y = -2.\)

б) \( \begin{cases} 7u + 2v = 1,   /\times(-3)\\ 17u + 6v = -9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -21u - 6v = -3,\\ 17u + 6v = -9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4u = -12,\\ 17u + 6v = -9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = \frac{12}{4},\\ 6v = -9 - 17v; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = 3,\\ 6v = -9 - 17\cdot3; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = 3,\\ 6v = -9 - 51; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = 3,\\ 6v = -60; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = 3,\\ v = -\frac{60}{6}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = 3,\\ v = -10; \end{cases} \)

Ответ: \(u = 3,\) \( v = -10.\)

в) \( \begin{cases} 6x = 25y + 1,\\ 5x - 16y = -4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 6x - 25y = 1,      /\times(-5) \\ 5x - 16y = -4;  /\times(6) \end{cases} \)

\( \begin{cases} -30x + 125y = -5, \\ 30x - 96y = -24; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 29y = -29, \\ 30x = -24 + 96y; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -1, \\ 30x = -24 + 96\cdot(-1); \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -1, \\ 30x = -24 - 96; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -1, \\ 30x = -120; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -1, \\ x = -\frac{120}{3}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -1, \\ x = -4; \end{cases} \)

Ответ: \(x = -4,\) \( y = -1.\)

г) \( \begin{cases} 4b + 7a = 90,\\ 5a - 6b = 20. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 7a + 4b = 90,   /\times3\\ 5a - 6b = 20      /\times2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 21a + 12b = 270, \\ 10a - 12b = 40 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 31a = 310, \\ 10a - 12b = 40 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = \frac{310}{31}, \\ 12b = 10a - 40 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 10, \\ 12b = 10\cdot10 - 40 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 10, \\ 12b = 100 - 40 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 10, \\ 12b = 60 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 10, \\ b = \frac{60}{12} \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 10, \\ b = 5 \end{cases} \)

Ответ: \(a = 10, \) \( b = 5\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

2) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

3) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

4) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Объяснение для (а):

Левую и правую части второго уравнения системы умножили на \(-3\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(x\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(12x\) и \(-12x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(8y = -16\), откуда \(y=-2\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).

Объяснение для (б):

Левую и правую части второго уравнения системы умножили на \(-3\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(v\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(v\) в них равны по модулю и противоположны: \(-6v\) и \(6v\). В результате переменная \(v\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(-4u = -12\), откуда \(u=3\).

Затем подставили найденное значение \(u\) во второе уравнение для нахождения \(v\).

Объяснение для (в):

В первом уравнении члены, содержащие переменные собрали в левой части уравнения, а без переменной - в правой. Далее первое уравнение умножили на \(-5\), а второе - на \(6\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(x\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(-30x\) и \(30x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(29y = -29\), откуда \(y=-1\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).

Объяснение для (г):

Первое уравнение умножили на \(3\), а второе - на \(2\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(b\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(b\) в них равны по модулю и противоположны: \(12b\) и \(-12b\). В результате переменная \(b\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(31a = 310\), откуда \(a=10\).

Затем подставили найденное значение \(a\) во второе уравнение для нахождения \(b\).