Упражнение 1083 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( a^3 + a^2 - x^2 a - x^2 =\)

\(=(a^3 + a^2) - (x^2 a + x^2)= \)

\( = a^2(a + 1) - x^2(a + 1) =\)

\(=(a^2 - x^2)(a + 1) =\)

\(= (a - x)(a + x)(a + 1). \)

б) \( b^3 + b^2 c - 9b - 9c =\)

\(=(b^3 + b^2 c) - (9b + 9c)= \)

\( = b^2(b + c) - 9(b + c) =\)

\(=(b^2 - 9)(b + c)= \)

\(= (b - 3)(b + 3)(b + c). \)

Пояснения:

Метод группировки:

• Ищем пары с общим множителем.
• Выносим общий множитель за скобки.
• Если удалось выделить общий множитель, то выносим его.

Формула разности квадратов:

\[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \]

а) Применена группировка и разложение по формуле разности квадратов.

б) Также использована группировка и разложение по формуле разности квадратов.

а) \( \begin{cases} x - 6y = 17,\\ 5x + 6y = 13; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 6x = 30,\\ 5x + 6y = 13; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{30}{6},\\ 6y = 13 -5x; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5,\\ y = \frac{13 -5x}{6}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5,\\ y = \frac{13 -5\,\cdot\,5}{6}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5,\\ y = \frac{13 -25}{6}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5,\\ y = \frac{-12}{6}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5,\\ y = -2; \end{cases} \)

Ответ: \(x = 5,\) \( y = -2.\)

б) \( \begin{cases} 4x - 7y = -12,\\ -4x + 3y = 12; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4y = 0,\\ -4x + 3y = 12; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 0,\\ -4x + 3\cdot0 = 12; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 0,\\ -4x = 12; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 0,\\ x = -\frac{12}{4}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 0,\\ x = -3; \end{cases} \)

Ответ: \(y = 0,\) \( x = -3.\)

в) \( \begin{cases} 3x + 2y = 5,\\ -5x + 2y = 45     /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x + 2y = 5,\\ 5x - 2y = -45; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8x = -40,\\ 5x - 2y = -45; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -\frac{40}{8},\\ 2y = 5x + 45; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -5,\\ y = \frac{5x + 45}{2}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -5,\\ y = \frac{5\,\cdot\,(-5) + 45}{2}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -5,\\ y = \frac{-25 + 45}{2}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -5,\\ y = \frac{20}{2}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -5,\\ y = 10; \end{cases} \)

Ответ: \(x = -5,\) \( y = 10.\)

г) \( \begin{cases} 9x - 4y = -13,\\ 9x - 2y = -20  /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 9x - 4y = -13,\\ -9x + 2y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2y =7,\\ -9x + 2y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -\frac{7}{2},\\ 9x = 2y - 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -3,5,\\ x = \frac{2y - 20}{9} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -3,5,\\ x = \frac{2\,\cdot\,(-3,5) - 20}{9} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -3,5,\\ x = \frac{-7 - 20}{9} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -3,5,\\ x = \frac{-27}{9} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -3,5,\\ x = -3 \end{cases} \)

Ответ: \(x = -3,\) \( y = -3,5.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных, там где необходимо одно из уравнений умножаем на \(-1\), чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

2) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

3) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

4) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Объяснение для (а):

Мы сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(y\) в них равны по модулю и противоположны: \(-6y\) и \(6y\). В результате переменная \(y\) исчезла и получилось линейное уравнение:

\(6x = 30\), откуда \( x=5. \)

Затем подставили найденное значение \(x\) во второе уравнение для нахождения \(y\).

Объяснение для (б):

Мы сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(4x\) и \(-4x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение:

\(-4y = 0\), откуда \(y = 0\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).

Объяснение для (в):

Левую и правую части второго уравнения системы умножили на \(-1\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(y\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(y\) в них равны по модулю и противоположны: \(2y\) и \(-2y\). В результате переменная \(y\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(8x=-40\), откуда \(x=-5\).

Затем подставили найденное значение \(x\) во второе уравнение для нахождения \(y\).

Объяснение для (г):

Левую и правую части второго уравнения системы умножили на \(-1\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(x\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(9x\) и \(-9x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(-2y=7\), откуда \(y=-\tfrac{7}{2} = -3,5\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).