Упражнение 713 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 151

Решение:

а) \((3x-1)(5x+4) - 15x^2 = 17\)

\(15x^2 +12x -5x -4 -15x^2 = 17\)

\(7x - 4 = 17\)

\(7x = 17 +4\)

\(7x = 21\)

\(x = \frac{21}{7}\)

\(x = 3\)

Ответ: \(x = 3\).

б) \((1-2x)(1-3x) = (6x-1)x -1\)

\(1 -3x -2x +6x^2 = 6x^2 - x - 1\)

\(6x^2 -5x +1 = 6x^2 - x -1\)

\(6x^2 -6x^2 -5x + x = -1 -1\)

\(-4x = -2\)

\(x=\frac{\cancel2^{1}}{\cancel4_{2}}\)

\(x = \tfrac12\)

\(x = 0,5\)

Ответ: \(x = 0,5\)

в) \(12 - x(x-3) = (6-x)(x+2)\)

\(12 - x^2 +3x = 6x +12 - x^2 -2x\)

\(12 - x^2 +3x = -x^2 +4x +12\)

\(12 - x^2 +3x = -x^2 +4x +12\)

\(- x^2 +x^2 +3x -4x = 12 -12\)

\(-x = 0\)

\(x = 0\)

Ответ: \(x = 0\).

г) \((x+4)(x+1) = x - (x-2)(2-x)\)

\(x^2 +x +4x +4 =x - (2x-x^2 -4+2x)\)

\(x^2 +5x +4 = x - (-x^2 +4x -4)\)

\(x^2 +5x +4 = x +x^2 -4x +4\)

\(x^2 +5x +4 = x^2 -3x +4\)

\(x^2 -x^2 +5x +3x = 4 -4\)

\(8x = 0\)

\(x = 0\)

Ответ: \(x = 0\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Раскрытие произведения скобок:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

2. Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):

\(x(y+z)=xy+xz\).

3. Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).

4. Приведение подобных членов:

\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).

5. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то \(A - D = B - C\).

6. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Пояснения к пунктам:

а) Раскрытие скобок дало \(15x^2+7x-4-15x^2\). Сокращение \(15x^2\) привело к \(7x-4\). Решение \(7x-4=17\) даёт \(x=3\).

б) Левую часть раскрывали как двучлен, правую – как произведение. После приведения подобных получили линейное уравнение \(-4x= -2\), откуда \(x=\tfrac12\).

в) Оба выражения содержали \(-x^2\) и число 12, они сократились, в оставшемся \(3x=4x\) получаем \(x=0\).

г) Раскрытие дало \(x^2+5x+4\) слева и \(x^2-3x+4\) справа. После сокращения противоположных членов получили \(8x=0\), откуда \(x=0\).

а) \( p^2q^2 + pq - q^3 - p^3 =\)

\(= (p^2q^2 - p^3) + (pq - q^3) =\)

\(=p^2(q^2 - p) + q(p - q^2) =\)

\(=p^2(q^2 - p) - q(q^2 - p) =\)

\(=(p^2 - q)(q^2 - p). \)

Если \(p=0{,}5\) и \(q=-0{,}5\), то

\((0{,}5^2 - (-0{,}5))\,((-0{,}5)^2 - 0{,}5) =\)

\(=(0{,}25 + 0{,}5)\,(0{,}25 - 0{,}5) =\)

\(=0{,}75 \cdot (-0{,}25) = -0{,}1875. \)

б) \( 3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy =\)

\( =(3x^3 + xy) - (6x^2y^2 + 2y^3) =\)

\(=x(3x^2 + y) - 2y^2(3x^2 + y)= \)

\(=(x-2y^2)(3x^2 + y).\)

Если \(x=\tfrac{2}{3}\), \(y=\tfrac{1}{2}\), то

\(\Bigl(\tfrac{2}{3} - 2\cdot(\tfrac{1}{2})^2\Bigr)\,\Bigl(3\cdot(\tfrac{2}{3})^2 + \tfrac{1}{2}\Bigr) =\)

\(=\bigl(\tfrac{2}{3} - \cancel2\cdot\tfrac{1}{\cancel4_{2}}\bigr)\,\bigl(\cancel3\cdot\tfrac{4}{\cancel9_{3}} + \tfrac{1}{2}\bigr) =\)

\(= \Bigl(\tfrac{2}{3}^{\color{blue}{\backslash2}} - \tfrac{1}{2}^{\color{blue}{\backslash3}}\Bigr)\,\Bigl(\tfrac{4}{3}^{\color{blue}{\backslash2}} + \tfrac{1}{2}^{\color{blue}{\backslash3}}\Bigr) =\)

\(=\bigl(\tfrac{4}{6} - \tfrac{3}{6}\bigr)\,(\tfrac{8}{6} + \tfrac{3}{6}\bigr)=\)

\(=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{11}{6} = \tfrac{11}{36}. \)

Пояснения:

Использованные правила:

1. Группировка однотипных слагаемых.

2. Вынесение общего множителя за скобку:

\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)

\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)

Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.

3. Перестановка слагаемых не меняет результат:

\(A + B = B + A\).

4. Умножение степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

Пояснение к пункту а):

1) Сгруппировали члены так, чтобы вынести общий множитель:

\(p^2q^2 - p^3 = -p\,(p^2 - q^2)\),

\(pq - q^3 = q\,(p - q^2)\),

и получили \((q^2 - p)(p^2 - q)\).

2) Подставили числа и вычислили разность и сумму в скобках.

3) Перемножили результаты скобок.

Пояснение к пункту б):

1) Сгруппировали так:

\((3x^3 + xy) = x(3x^2 + y)\),

\(-6x^2y^2 - 2y^3 = -2y^2(3x^2 + y)\)

и получили \((x - 2y^2)(3x^2 + y)\).

2) Подставили числа и вычислили разность и сумму в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

3) Перемножили результаты скобок.