Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№709 учебника 2023-2025 (стр. 150):
Докажите, что значение выражения не зависит от переменной \(x\):
а) \((x-5)(x+8) - (x+4)(x-1)\);
б) \(x^4 - (x^2 - 1)(x^2 + 1)\).
№709 учебника 2013-2022 (стр. 151):
Разложите на множители многочлен:
а) \(mx + my + 6x + 6y\);
б) \(9x + ay + 9y + ax\);
в) \(7a - 7b + an - bn\);
г) \(ax + ay - x - y\);
д) \(1 - bx - x + b\);
е) \(xy + 2y - 2x - 4\).
№709 учебника 2023-2025 (стр. 150):
Вспомните:
№709 учебника 2013-2022 (стр. 151):
Вспомните:
№709 учебника 2023-2025 (стр. 150):
а)\((x-5)(x+8) - (x+4)(x-1) =\)
\(=\bigl(x^2+8x-5x-40\bigr) - \bigl(x^2 - x +4x -4\bigr) =\)
\(=(x^2+3x-40) - (x^2+3x-4) =\)
\(=x^2+3x-40 - x^2 -3x +4 = -3.\)
б) \(x^4 -(x^2 -1)(x^2 +1) =\)
\(=x^4 -(x^4 + x^2 - x^2 -1) =\)
\(=x^4 -(x^4 -1) = x^4 -x^4 +1= 1.\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) Правило раскрытия произведения двух скобок:
\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]
2) Приведение подобных членов:
\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)
3) Умножение степеней:
\(а^n + a^m=a^{m+n}\).
4) Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).
Пояснение к пункту а):
– Сначала раскрыли скобки в обоих произведениях:
\((x-5)(x+8)=x^2+3x-40\),
\((x+4)(x-1)=x^2+3x-4\).
– Затем выполнили вычитание второго многочлена из первого, распространяя знак «−» на все его члены.
– После приведения подобных членов \(x^2 - x^2\) и \(3x - 3x\) получилось число \(-40 + 4 = -36\), не зависящее от \(x\).
Пояснение к пункту б):
– Сначала раскрыли скобки в произведении:
\[(x^2 -1)(x^2 +1) =\\= x^4 + x^2 - x^2 -1 =\\= x^4 -1 \]
– Затем выполнили вычитание полученного выражения из \(x^4\), распространяя знак «−» на все его члены.
– Вычли полученное выражение из \(x^4\), отмечая смену знаков перед всеми слагаемыми в нем и привели подобные члены:
– После приведения подобных членов \(x^4 - x^4\) получилось число \(1\), не зависящее от \(x\).
№709 учебника 2013-2022 (стр. 151):
а) \(mx + my + 6x + 6y =\)
\(=(mx + my) + (6x + 6y) =\)
\(=m(x+y) + 6(x+y) =\)
\(=(x+y)(m+6)\).
б) \(9x + ay + 9y + ax =\)
\(=(9x + ax) + (ay + 9y) =\)
\(=x(9+a) + y(a+9) =\)
\(=(a+9)(x+y)\).
в) \(7a - 7b + an - bn =\)
\(=(7a - 7b) + (an - bn) =\)
\(=7(a-b) + n(a-b) =\)
\(=(a-b)(7+n)\).
г) \(ax + ay - x - y =\)
\(=(ax + ay) - (x+y) =\)
\(=a(x+y) - 1\,(x+y) =\)
\(=(x+y)(a-1)\).
д) \(1 - bx - x + b =\)
\(=(1 + b) - (bx + x) =\)
\(=(1+b) - x(b+1) =\)
\(=(b+1)(1 - x)\).
е) \(xy + 2y - 2x - 4 =\)
\(=y(x+2) - 2(x+2) =\)
\(=(x+2)(y-2)\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Группировка однотипных слагаемых.
2. Вынесение общего множителя за скобку:
\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)
\(X - C\cdot X = (1-C)\,X\).
Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.
3. Перестановка слагаемых не меняет результат:
\(A + B = B + A\).
Пояснения к пунктам:
В пунктах а)–д) после группировки однотипных слагаемых выделяли общий множитель и представляли сумму как произведение суммы коэффициентов на этот множитель.
В пункте е) сгруппировали первые два и последние два слагаемых:
\(xy+2y = y(x+2)\),
\(-2x-4 = -2(x+2)\).
После чего вынесли общий множитель \((x+2)\), получив \((y-2)(x+2)\).
Вернуться к содержанию учебника