Упражнение 706 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 150

1) \[ (x-3)(x+7) - (x+5)(x-1) =\\= x^2 +7x -3x -21 -\bigl(x^2 -x +5x -5\bigr) =\\= x^2 +4x -21 -\bigl(x^2 +4x -5\bigr) =\\= x^2 +4x -21 -x^2 -4x +5 = -16. \]

2) \[ x^4 - (x^2 -7)(x^2 +7) =\\= x^4 -\bigl(x^4 +7x^2 -7x^2 -49\bigr) =\\= x^4 - (x^4 -49) =\\= x^4 -x^4 +49 = 49 \]

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Правило раскрытия произведения двух скобок:

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$$

2) Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

3) Умножение степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

4) Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).

Пояснение к пункту 1)

Сначала раскрываем скобки в каждом произведении с помощью формулы раскрытия:

\[ (x-3)(x+7)=\\=x^2 +7x -3x -21 =\\= x^2 +4x -21, \]

\[ (x+5)(x-1)=\\=x^2 -x +5x -5 =\\= x^2 +4x -5. \]

Затем вычитаем второе выражение из первого, отмечая смену знаков перед всеми слагаемыми во втором и приводим подобные:

\[ x^2+4x-21 - (x^2+4x-5) =\\= x^2+4x-21 -x^2 -4x +5 = -16. \]

Пояснение к пункту 2)

Сначала раскрываем скобки с помощью формулы раскрытия:

\[(x^2 -7)(x^2 +7) =\\=x^4 +7x^2 -7x^2 -49=\\= x^4 -49 \]

Поэтому исходное выражение принимает вид:

\[ x^4 - \bigl(x^4 -49\bigr) =\\= x^4 - x^4 +49 = 49. \]

а) \(\frac{x-2}{5} = \frac{2}{3} - \frac{3x-2}{6}\)   / \(\times 30\)

\(\cancel{30}^{6}\cdot\frac{x-2}{\cancel5} = \cancel{30}^{10}\cdot\frac{2}{\cancel3} - \cancel{30}^{5}\cdot\frac{3x-2}{\cancel6}\)

\(6(x-2) = 10\cdot2 - 5(3x-2)\)

\(6x - 12 = 20 - 15x + 10\)

\(6x + 15x = 20 + 10 + 12\)

\(21x = 42\)

\(x = \frac{42}{21}\)

\(x = 2\)

Ответ: \(x = 2\).

б) \(\frac{2x-5}{4} - 1 = \frac{x+1}{3}\)  / \(\times 12\)

\(\cancel{12}^{3}\cdot\frac{2x-5}{\cancel4} - 12\cdot1 = \cancel{12}^{4}\cdot\frac{x+1}{\cancel3}\)

\(3(2x-5) - 12 = 4(x+1)\)

\(6x - 15 - 12 = 4x + 4\)

\(6x - 4x = 4 + 15 + 12\)

\(2x = 31\)

\(x = \frac{31}{2}\)

\(x = 15,5\)

Ответ: \(x = 15,5\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):

\(x(y+z)=xy+xz\).

2. Приведение подобных членов:

\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).

3. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то

\(A - D = B - C\).

4. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Пояснения к пунктам:

а) Чтобы избавиться от дробей, умножили уравнение на наименьшее общее кратное всех знаменателей - число 30, раскрыли скобки, перенесли -15x влево, а -12 вправо, изменив знаки, получили \(21x=42\), откуда

\(x=2\).

б) Чтобы избавиться от дробей, умножили уравнение на наименьшее общее кратное всех знаменателей - число 12, раскрыли скобки, перенесли 4x влево, а -15 и -12 вправо, изменив знаки, получили \(2x=31\), откуда

\(x = 15,5\).