Упражнение 1227 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть пять последовательных натуральных чисел:

\((n-2),\;(n-1),\;n,\)

\((n+1),\;(n+2)\).

\( (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2= \)

\(= (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)= \)

\(= n^2 - \cancel{4n} + 4 + n^2 - \cancel{2n} + 1 + n^2 + n^2 + \cancel{2n} + 1 + n^2 + \cancel{4n} + 4)= \)

\(= 5n^2 + 10 = 5\,(n^2 + 2). \)

Предположим, что

\( 5\,(n^2+2) = k^2. \)

Тогда \(k^2\) делится на 5, а значит и \(k\) делится на 5. Пусть \(k=5t\). Тогда

\( 25t^2 = 5\,(n^2+2) \)    / \(: 5\)

\(5t^2 = n^2 + 2. \)

1) Если \(n\) делится на 5, то \(n^2\) делится на 25, значит \(n^2+2\) при делении на 5 даёт в остатке 2;

2) Если \(n\) при делении на 5 даёт в остатке 1 или 4, то \(n^2\) при делении на 5 даёт в остатке 1, и тогда \(n^2+2\) при делении на 5 даёт остаток 3, так как \(1 + 2 = 3\);

3) Если \(n\) при делении на 5 даёт в остатке 2 или 3, то \(n^2\) даёт в остатке 4, и тогда \(n^2+2\) даёт остаток 1, так как \(4 + 2 = 6\), а \(6 : 5 = 1 (ост.1)\).

\(n^2+2\) не делится на 5, поэтому равенство \(5t^2=n^2+2\) невозможно. Значит исходное предположение ложно, и сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

– Выразили сумму пяти квадратов в виде \(5(n^2+2)\).
– Если это число было бы квадратом, то делилось бы на 25, что приводит к требованию, чтобы \(n^2+2\) делилось на 5.
– Проверка всех возможных остатков \(n\) при делении на 5 показывает то, что \(n^2+2\) при делении на 5 даёт остаток 1 или 2 или 3, но никогда 0. Противоречие завершает доказательство.

Пусть скорость автобуса равна \(x\) км/ч, а легкового автомобиля — \(y\) км/ч.

1) \(7 ч \,50 мин - 6 ч\, 20 мин =\)

\(=1 ч \,30 мин = 1,5 ч\) - были в пути машина и автобус.

2) \(6 ч \,20 мин - 1 ч \,15 мин =\)

\(= 5 ч \,5 мин\) - новое время выезда автобуса.

3) \(7 ч \,35 мин - 5 ч\, 5 мин =\)

\(=2 ч\, 30 мин = 2,5 ч \) - был бы в пути автобус.

4) \(6 ч\, 20 мин + 15 мин = \)

\(=6 ч \,35 мин\) - новое время выезда автомобиля.

5) \(7 ч\, 35 мин - 6 ч\, 35 мин = 1 ч\) - был бы в пути автомобиль.

6) Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 1{,}5x + 1{,}5y = 180,  / : (-1,5) \\ 2{,}5x + y = 180 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -x - y = -120, \\ 2{,}5x + y = 180 \end{cases} \)   \((+)\)

\( \begin{cases} 1,5x = 60, \\ 2{,}5x + y = 180 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{60}{1,5}, \\ 2{,}5x + y = 180 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{600}{15}, \\ 2{,}5x + y = 180 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 40, \\ 2{,}5\cdot40 + y = 180 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 40, \\ 100 + y = 180 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 40, \\ y = 180 - 100 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 40, \\ y = 80 \end{cases} \)

Ответ: скорость автобуса 40 км/ч, легкового автомобиля — 80 км/ч.

Пояснения:

– В первом уравнении мы учли суммарный пробег за равное время до встречи.

– Во втором – пробег каждого за разные отрезки времени с учётом сдвига начала движения.

– Составили систему линейных уравнений и решили ее способ сложения, найдя скорости автобуса и автомобиля.