Упражнение 1232 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 236

\[ y = \frac{x + z}{2}. \]

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0. \)

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2 \Bigl(\frac{x+z}{2}\Bigr)^2 + 4\,\Bigl(\frac{x+z}{2}\Bigr)^2\,z^2 = 0. \)

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - \cancel4x^2 \,\frac{(x+z)^2}{\cancel4} + \cancel4\cdot\frac{(x+z)^2}{\cancel4}\,z^2 = 0. \)

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - x^2(x+z)^2 + (x+z)^2\,z^2 = 0. \)

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - x^2(x^2 + 2xz + z^2) + (x^2 + 2xz + z^2)\,z^2 = 0. \)

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - x^4 -2x^3z -x^2z^2 + x^2z^2 +2xz^3 + z^4 = 0\)

\((x^4 - x^4) + (2x^3z - 2x^3z) + (2xz^3 - 2xz^3) + (z^4 - z^4) + (x^2z^2 - x^2z^2) = 0\).

\(0 = 0\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

1) Подстановка среднего арифметического \(y=\frac{x+z}{2}\) позволяет выразить все члены через \(x\) и \(z\).

2) Раскрытие скобок и упрощение показывает, что положительные и отрицательные части попарно взаимно уничтожаются.

3) В результате получаем тождественное равенство.

Квадрат суммы двух выражений:

\(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c + d) = ab + ac + ad\).

Свойства степени:

\(a^ma^n = a^{m+n}\);

\(\Bigl(\frac{a}{b}\Bigr)^n=\frac{a^n}{b^n}\).