Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1224 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Разложите на множители многочлен:
а) \(x^8 + x^4 - 2\);
б) \(a^5 - a^2 - a - 1\);
в) \(n^4 + 4\);
г) \(n^4 + n^2 + 1\).
№1224 учебника 2013-2022 (стр. 234):
Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения
\(x + y = 26.\)
№1224 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Вспомните:
№1224 учебника 2013-2022 (стр. 234):
Вспомните:
№1224 учебника 2023-2025 (стр. 236):
а) \( x^8 + x^4 - 2 =\)
\(=x^8 + x^4 - 1 - 1 =\)
\(= (x^8 - 1) + (x^4 - 1) =\)
\(= ((x^4)^2 - 1^2) + (x^4 - 1) =\)
\(=(x^4 - 1)(x^4 + 1) + (x^4 - 1)=\)
\(=(x^4 - 1)(x^4 +1 + 1)=\)
\(=((x^2)^2 - 1^2)(x^4 + 2)=\)
\(=(x^2 - 1)(x^2 +1)(x^4 + 2)= \)
\(=(x-1)(x+1)(x^2 +1)(x^4 + 2). \)
б) \( a^5 - a^2 - a - 1 =\)
\(=(a^5 - a) - (a^2 + 1) =\)
\(=a(a^4 - 1) - (a^2 + 1) =\)
\(=a(a^2 - 1)(a^2 + 1) - 1\cdot(a^2 + 1) =\)
\(=(a^2 + 1)\,\bigl(a(a^2 - 1) - 1\bigr)=\)
\(= (a^2 + 1)\,(a^3 - a - 1). \)
в) \( n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 =\)
\(=(n^2 + 2)^2 - (2n)^2 = \)
\(=\bigl(n^2 + 2 - 2n\bigr)\,\bigl(n^2 -2 + 2n\bigr). \)
г) \( n^4 + n^2 + 1 = \)
\(= n^4 + n^2 + 1 + n^2 - n^2= \)
\(=n^4 + 2n^2 + 1 - n^2 =\)
\(=(n^2 + 1)^2 - n^2 =\)
\(=(n^2 + 1 - n)\,(n^2 + 1 + n).\)
Пояснения:
– Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
– Квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
– Умножение одночлена на многочлен:
\(a(b+c) = ab + ac\).
– Вынесение общего множителя за скобки:
\(ax + bx = (a + b)x\).
– Свойства степени:
\((a^m)^n = a^{mn}\);
\(a^ma^n = a^{m+n}\).
В пункте а) разложение по общему множителю \(x^4-1\), затем разность квадратов.
В пункте б) группировка: \(a^5 - a\), затем \(a^2+1\) как общий множитель.
В пунктах в) и г) использованы формулы квадрата суммы и разности квадратов, при этом учитывали то, что выражение не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение.
№1224 учебника 2013-2022 (стр. 234):
\(x + y = 26\)
\(y=26-x\)
Если \(x=2\), то
\(y=26 - 2=24\) - не является простым.
Если \(x=3\), то
\(y=26 - 3=23\) - простое.
Если \(x=5\), то
\(y=26 - 5 =21\) - не является простым.
Если \(x=7\), то
\(y=26 - 7=19\) - простое.
Если \(x=11\), то
\(y=26 - 11=15\) - не является простым.
Если \(x=13\), то
\(y = 26 - 13=13\) - простое.
Если \(x=17\), то
\(y = 26 - 17=9\) - не является простым.
Если \(x=19\), то
\(y = 26 - 19=7\) - простое.
Если \(x=23\), то
\(y = 26 - 123=3\) - простое.
Ответ: \(x = 3, y = 23\);
\(x = 7, y = 19\); \(x = 13, y = 13\);
\(x = 19, y = 7\); \(x = 23, y = 3\).
Пояснения:
1) Простые числа — это натуральные числа, имеющие ровно два делителя: 1 и само число.
2) Поэтому выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем вместо \(x\) простые числа меньшие 26: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Из них только 3, 7, 13, 19, 23 дают в сумме с соответствующим \(y\) другое простое.
Вернуться к содержанию учебника