Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1226 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.
№1226 учебника 2013-2022 (стр. 235):
Задача Л. Н. Толстого. Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?
№1226 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Вспомните:
№1226 учебника 2013-2022 (стр. 235):
Вспомните:
№1226 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Пусть \(n\) и \(n+1\) два последовательных натуральных числа.
\( (n+1)^3 - n^3 =\)
\(=(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 =\)
\(=\cancel{n^3} + 3n^2 + 3n + 1 - \cancel{n^3} =\)
\(=3n^2 + 3n + 1 =\)
\(=3n^2 + 3n + 1 = 3n(n+1) + 1. \)
\(n\) и \(n+1\) — два последовательных натуральных числа, поэтому одно из них чётное, тогда произведение
\(n(n+1)\) чётно, значит, \(3n(n+1)\) кратно 6. Тогда остаток при делении \(3n(n+1) + 1 = (n+1)^3 - n^3 \) на 6 равен 1.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
1) Формула куба суммы:
\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).
2) Свойство двух подряд идущих чисел: одно из \(n\) и \(n+1\) чётное, значит их произведение делится на 2.
3) Умножение на 3: если произведение чётно, то домножение на 3 делает число кратным 6. Оставшийся «+1» и даёт остаток 1.
№1226 учебника 2013-2022 (стр. 235):
Обозначим через \(x\) число косцов в артели, а через \(y\) — площадь которую один косец успевает скосить за полный день. За полдня один косец скосит \(0,5y\).
1) За первую половину дня вся артель (все x косцов) на большом лугу скосила площадь
\( x\cdot0,5y = 0,5xy\).
2) За вторую половину дня группа из \(0,5x\) косцов докосила оставшееся:
\(0,5x\cdot0,5y = 0,25xy\).
3) Площадь большого луга:
\(0,5xy + 0,25xy = 0,75xy\)
4) За ту же вторую половину дня вторая половина артели \(0,5x\) скосила на малом лугу
\(0,5\cdot0,5xy = 0,25xy\).
5) Площадь малого луга:
\(y + 0,25xy\).
6) Составим уравнение:
\( 0,75xy = 2(y + 0,25xy)\)
\( 0,75xy = 2y + 0,5xy\)
\( 0,75xy - 0,5xy = 2y\)
\( 0,25xy = 2y\) / \(: y\)
\( 0,25x = 2\)
\( x = \frac{2}{0,25}\)
\( x = \frac{200}{25}\)
\( x = 8\).
Ответ: в артели было 8 косцов.
Пояснения:
– Ввели обозначения \(x\) число косцов в артели, а через \(y\) — площадь которую один косец успевает скосить за полный день.
– По условию определили площади большого и малого лугов.
– Составили уравнения, учитывая то, что площадь большого луга вдвое больше малого.
– Решение показывает, что количество косцов не зависит от скорости одного и равно 8.
Вернуться к содержанию учебника