Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1231 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Докажите, что не существует целых коэффициентов \(a, b, c\) и \(d\) таких, что значение многочлена \(ax^3 + bx^2 + cx + d\) равно 1 при \(x=19\) и равно 2 при \(x=62\).
№1231 учебника 2013-2022 (стр. 235):
Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в школу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?
№1231 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Вспомните:
№1231 учебника 2013-2022 (стр. 235):
Вспомните:
№1231 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} 19^3a + 19^2b + 19c + d = 1, /\times(-1) \\ 62^3a + 62^2b + 62c + d = 2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} -19^3a - 19^2b - 19c - d = 1, \\ 62^3a + 62^2b + 62c + d = 2 \end{cases} \) \((+)\)
\((62^3 - 19^3)\,a +(62^2 - 19^2)\,b+(62 - 19)\,c = 1\)
\((62 - 19)(62^2 - 62\cdot19 + 19^2)\,a +(62 - 19)(62 + 19)\,b+43\,c = 1\)
\(43(62^2 - 62\cdot19 + 19^2)\,a + 43(62 + 19)\,b+43\,c = 1\) / \(:43\)
\((62^2 - 62\cdot19 + 19^2)\,a + (62 + 19)\,b+c = \frac{1}{43}\) - дробное число.
Значит, коэффициенты \((a,b,c,d)\) не могут быть целыми числами.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
– Мы составили систему для неизвестных коэффициентов, домножили первое уравнение системы на (-1) и, сложив уравнения системы, исключили свободный член \(d\).
– По формулам разности кубов и разности квадратов, получили то, что каждое слагаемое в левой части уравнения имеет множитель 43, значит, левая часть уравнения делится нацело на 43, но справа стоит единица, которая нацело на 43 не делится. Значит, коэффициенты \((a,b,c,d)\) не могут быть целыми числами.
Разность кубов:
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2\).
Разность квадратов:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
№1231 учебника 2013-2022 (стр. 235):
Пусть \(x\) — скорость ходьбы братьев,
\(y\) — расстояние, которое прошёл второй брат со школы до момента встречи с первым.
Скорость второго брата равна \(\frac{x}{2}\), время его движения до встречи
\(y : \frac{x}{2}=y\cdot\frac2x=\frac{2y}{x}.\)
1) Составим уравнение:
\(\frac{2y}{x} - \frac{y}{x} = 6\) /\(\times{x}\)
\(2y - y = 6x\)
\(y = 6x\)
2) Расстояние, которое второй брат двигался с меньшей скоростью:
\(\frac{2y}{x} =\frac{2\cdot6\cancel{x}}{\cancel{x}} = 12\) (мин) - первый брат бежал до школы и вернулся к первому.
3) Время, которое понадобится на расстояние \(y\), при движении с обычной скоростью:
15 + 15 + 6 = 36 (мин)
4) Определяем во сколько раз скорость первого брата больше скорости ходьбы:
36 : 12 = 3 (раза)
Ответ: в 3 раза скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев.
Вернуться к содержанию учебника