Наибольший общий делитель

Число 36 имеет такие делители: 1, 2, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Число 126 имеет такие делители: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.

Синим цветом мы выделили числа 1, 2, 6, 9, 18, которые являются общими делителями чисел 36 и 126. Наибольшим из данных множителей является 18.

Наибольшее натуральное число, на которое делятся нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Наибольший общий делитель чисел и обозначают так: НОД(; ), то есть мы можем записать НОД(36; 126) = 18.

Предварительно разложив числа на простые множители, мы упростим нахождение наибольшего общего делителя многозначных чисел.

Найдем НОД(240; 165).

                                                

240 = 222235                       165 = 3511.

Синим мы выделили все общие простые делители рассматриваемых чисел, это 3 и 5. Значит, оба данных числа делятся и на произведение данных чисел, то есть на 35 = 15, оно и будет являться наибольшим общим делителем чисел 240 и 165, то есть НОД(240; 165) = 35 = 15.

Найдем НОД(2520; 4620).

                                               

2 520 = 2223357                 4 620 = 2235711.

Рассмотрев разложения данных чисел, мы можем заметить, что некоторые простые множители повторяются, например, число 2 в разложении числа 2520 повторяется трижды, а в разложении числа 4620 - дважды. Заметим, что число 4 = 22 является делителем и числа 2520, и числа 4620, а число 8 = 222, является делителем только числа 2520. Так же число 3 является множителем рассматриваемых чисел, а число 9 = 33 является только делителем числа 2520. Кроме чисел 4 и 3, общими делителями данных чисел являются числа 5 и 7.

Мы получили, что числа 2520 и 4620 делятся без остатка на каждое из чисел 4, 3, 5, 7, на их произведение 4357  рассматриваемые числа тоже делятся без остатка, то есть мы получили, что НОД(2520; 4620) = 4357 = 420.

Таким образом, можно найти НОД, разложив числа на простые множители и выписав те, что входят в разложение обоих чисел (или можно просто зачеркнуть те множители, которые есть только в разложении одного числа, например, в разложении числа 2520 нам надо вычеркнуть одну 2 и одну 3, а в разложении числа 4620 число 11).

Таким же образом можно найти НОД трех и более чисел.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:

  1. разложить их на простые множители;
  2. из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
  3. найти произведение оставшихся множителей.

Заметим, что если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является НОД данных чисел.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Нам известно, что разложение на простые множители, мы можем записать в виде произведения степеней, то есть в последнем примере мы можем записать, что:

2 520 = 23325171

4 620 = 22315171111.

Тогда НОД мы можем найти по следующему правилу:

  1. Определить степени, основания которых являются общими простыми делителями данных чисел.
  2. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с меньшим показателем.
  3. Перемножить выбранные степени. Полученное произведение является искомым наибольшим общим делителем.

 Найдем НОД(2520; 4620):

  1.  Выписываем общие основания: 2, 3, 5, 7.
  2. Выбираем наименьшие показатели данных степеней: 22, 31, 51, 71.
  3. Находим произведение данных степеней, то есть искомый наибольший общий делитель: НОД(2520; 4620) = 22315171 = 420.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Задание 147, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 148, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 152, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 153, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 170, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 171, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 191, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 231, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 240, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 255, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник