Упражнение 785 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a_1=28; S_{25}=925\)

1. \(S_{25} = \dfrac{2a_1 + (25 - 1)d}{2}\cdot25\)

\(925 = \dfrac{2\cdot 28 + (25 - 1)d}{2}\cdot25\)

\(925 = \dfrac{56 + 24d}{2}\cdot25\)

\(925 = (28 + 12d)\cdot25\)

\(28+12d=925:25\)

\(28+12d=37\)

\(12d=37-28\)

\(12d=9\)

\(d = \dfrac{9}{12}\)

\(d = 0{,}75\)

2. \(a_{30} = a_1 + (30 - 1)d=\)

\(=28 + 29 \cdot 0{,}75=28 + 21{,}75=49{,}75\)

Ответ: \(d = 0{,}75\); \(a_{30} =49{,}75.\)

Пояснения:

Основные формулы арифметической прогрессии:

1. Формула суммы первых \(n\) членов:

\(S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2}n\)

2. Формула \(n\)-го члена:

\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

Сначала мы использовали формулу суммы, так как известны сумма и первый член. Подставили \(n = 25\), \(a_1 = 28\) и решили уравнение относительно \(d\).

После раскрытия скобок получили линейное уравнение и нашли разность прогрессии:

\(d = 0{,}75\).

Затем воспользовались формулой \(n\)-го члена, чтобы найти тридцатый член. Подставили найденную разность и вычислили значение.

а) \( \begin{cases} x-y=1,\\ xy=240 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=y+1,\\ (y+1)y=240 \end{cases} \)

\( (y+1)y=240 \)

\( y^2+y-240=0 \)

\( D=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-240)=\)

\(=1+960=961, \) \( \sqrt{D}=31. \)

\(y_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\[ y_1=\frac{-1+31}{2}=15 \]

\[ y_2=\frac{-1-31}{2}=-16 \]

1) \(y=15\)

\[ x=15+1=16 \]

\[ (16;15) \]

2) \(y=-16\)

\[ x=-16+1=-15 \]

\[ (-15;-16) \]

Ответ:  \((16;15), \)  \( (-15;-16) .\)

б) \(\begin{cases} x^2+y^2=65,\\ 2x-y=15 \end{cases} \)

 \(\begin{cases} x^2+(2x-15)^2=65,\\ y=2x-15\end{cases} \)

\(x^2+(2x-15)^2=65\)

\( x^2+4x^2-60x+225=65 \)

\( 5x^2-60x+225=65 \)

\[ 5x^2-60x+160=0 \]

\[ x^2-12x+32=0 \]

\( D=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot1\cdot32=\)

\(=144-128=16, \) \( \sqrt{D}=4. \)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\[ x_1=\frac{12+4}{2}=8 \]

\[ x_2=\frac{12-4}{2}=4 \]

1) \(x=4\)

\[ y=2\cdot 4-15=-7 \]

\[ (4;-7) \]

2) \(x=8\)

\[ y=2\cdot 8-15=1 \]

\[ (8;1) \]

Ответ: \((4;-7)\), \((8;1)\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Метод подстановки: выражаем одну переменную через другую и подставляем.

2. Решение квадратных уравнений через дискриминант.

3. Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Пояснение к пункту а).

Из первого уравнения выразили \(x=y+1\).

Подставили во второе:

\[ xy=(y+1)y \]

Получили квадратное уравнение:

\[ y^2+y-240=0 \]

Решили его через дискриминант и нашли два значения \(y\), затем нашли соответствующие \(x\).

Пояснение к пункту б).

Из второго уравнения выразили:

\[ y=2x-15 \]

Подставили в первое уравнение:

\[ x^2+y^2=65 \]

После раскрытия скобок получили квадратное уравнение:

\[ x^2-12x+32=0 \]

Разложили на множители и нашли два значения \(x\), затем вычислили \(y\).

Таким образом, каждая система имеет по два решения.