Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№785 учебника 2023-2026 (стр. 201):
В арифметической прогрессии первый член равен 28, а сумма первых двадцати пяти членов равна 925. Найдите разность и тридцатый член этой прогрессии.
№785 учебника 2014-2022 (стр. 198):
Решите систему уравнений:
а)
\[ \begin{cases} x-y=1,\\ xy=240; \end{cases} \]
б)
\[ \begin{cases} x^2+y^2=65,\\ 2x-y=15. \end{cases} \]
№785 учебника 2023-2026 (стр. 201):
№785 учебника 2014-2022 (стр. 198):
Введите текст
№785 учебника 2023-2026 (стр. 201):
\(a_1=28; S_{25}=925\)
1. \(S_{25} = \dfrac{2a_1 + (25 - 1)d}{2}\cdot25\)
\(925 = \dfrac{2\cdot 28 + (25 - 1)d}{2}\cdot25\)
\(925 = \dfrac{56 + 24d}{2}\cdot25\)
\(925 = (28 + 12d)\cdot25\)
\(28+12d=925:25\)
\(28+12d=37\)
\(12d=37-28\)
\(12d=9\)
\(d = \dfrac{9}{12}\)
\(d = 0{,}75\)
2. \(a_{30} = a_1 + (30 - 1)d=\)
\(=28 + 29 \cdot 0{,}75=28 + 21{,}75=49{,}75\)
Ответ: \(d = 0{,}75\); \(a_{30} =49{,}75.\)
Пояснения:
Основные формулы арифметической прогрессии:
1. Формула суммы первых \(n\) членов:
\(S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2}n\)
2. Формула \(n\)-го члена:
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
Сначала мы использовали формулу суммы, так как известны сумма и первый член. Подставили \(n = 25\), \(a_1 = 28\) и решили уравнение относительно \(d\).
После раскрытия скобок получили линейное уравнение и нашли разность прогрессии:
\(d = 0{,}75\).
Затем воспользовались формулой \(n\)-го члена, чтобы найти тридцатый член. Подставили найденную разность и вычислили значение.
№785 учебника 2014-2022 (стр. 198):
а)
\[ x-y=1 \]
\[ x=y+1 \]
\[ (y+1)y=240 \]
\[ y^2+y-240=0 \]
\[ D=1+960=961 \]
\[ \sqrt{D}=31 \]
\[ y_1=\frac{-1+31}{2}=15 \]
\[ y_2=\frac{-1-31}{2}=-16 \]
1) \(y=15\)
\[ x=15+1=16 \]
\[ (16;15) \]
2) \(y=-16\)
\[ x=-16+1=-15 \]
\[ (-15;-16) \]
б)
\[ 2x-y=15 \]
\[ y=2x-15 \]
\[ x^2+(2x-15)^2=65 \]
\[ x^2+4x^2-60x+225=65 \]
\[ 5x^2-60x+225=65 \]
\[ 5x^2-60x+160=0 \]
\[ x^2-12x+32=0 \]
\[ (x-4)(x-8)=0 \]
\[ x=4 \text{ или } x=8 \]
1) \(x=4\)
\[ y=2\cdot 4-15=-7 \]
\[ (4;-7) \]
2) \(x=8\)
\[ y=2\cdot 8-15=1 \]
\[ (8;1) \]
Ответ:
а) \((16;15)\), \((-15;-16)\);
б) \((4;-7)\), \((8;1)\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Метод подстановки: выражаем одну переменную через другую и подставляем.
2. Решение квадратных уравнений через дискриминант.
3. Разложение квадратного трёхчлена на множители.
Пояснение к пункту а).
Из первого уравнения выразили \(x=y+1\).
Подставили во второе:
\[ xy=(y+1)y \]
Получили квадратное уравнение:
\[ y^2+y-240=0 \]
Решили его через дискриминант и нашли два значения \(y\), затем нашли соответствующие \(x\).
Пояснение к пункту б).
Из второго уравнения выразили:
\[ y=2x-15 \]
Подставили в первое уравнение:
\[ x^2+y^2=65 \]
После раскрытия скобок получили квадратное уравнение:
\[ x^2-12x+32=0 \]
Разложили на множители и нашли два значения \(x\), затем вычислили \(y\).
Таким образом, каждая система имеет по два решения.
Вернуться к содержанию учебника