Упражнение 764 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость легкового автомобиля равна \(x\) км/ч (\(x >0\)), скорость грузового — \(y\) км/ч (\(y >0\)). Тогда:

\[2x-3y=10\]

Новая скорость легкового автомобиля:

\(x - 0,25 x = 0{,}75x\).

Новая скорость грузового автомобиля:

\(y - 0,2y = 0,8y\)

Тогда:

\[5\cdot0,8y-3\cdot 0{,}75x=20\]

\[4y-2,25x=20\]

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases}2x - 3y = 10, /\times4\\ 4y-2,25x=20  /\times3 \end{cases}\)

\(\begin{cases}8x - 12y = 40,\\ 12y-6,75x=60 \end{cases}\)  \((+)\)

1) \((8x - 12y) + (12y - 6,75x) = 40 + 60\)

\(8x - \cancel{12y} + \cancel{12y} - 6,75x =100\)

\(1,25x = 100\)

\(x = \frac{100}{1,25}\)

\(x = \frac{10000}{125}\)

\(x = 80\)

2) \(2\cdot80 - 3y = 10\)

\(160 - 3y = 10\)

\(-3y = 10 - 160\)

\(-3y = -150\)

\(y = \frac{-150}{-3}\)

\(y = 50\)

Ответ: скорость легкового автомобиля равна \(80\) км/ч, а грузового - \(50\) км/ч.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

\[s=vt\]

Если скорость \(x\) уменьшили на \(25\) %,то новая скорость равна \(0{,}75x\).

Если скорость \(y\) уменьшили на \(20\) %, то новая скорость равна \(0,8y\).

1) По условию «за \(2\) ч легковой проехал на \(10\) км больше, чем грузовой за \(3\) ч» записываем через расстояния:

\(2x-3y=10.\)

2) После изменения скоростей: легковой едет со скоростью \(0{,}75x\), грузовой — \(0,8y\). И по условию грузовой автомобиль проедет за \(5\) ч на \(20\) км больше, чем легковой за \(3\) ч, тогда

\[5\cdot 0,8y - 3\cdot 0{,}75x=20\]

или упростив имеем:

\[4y-2,25x=20\]

Составляем систему из двух уравнений и решаем ее методом сложения. В результате получаем скорость легкового автомобиля равную \(80\) км/ч, а грузового - \(50\) км/ч.

\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

\(n=5, k=3\)

\(\small  A_{5}^3= \frac{5!}{(5-3)!}=\frac{2! \cdot 3\cdot 4\cdot 5}{2!}=60\) - всего трехзначных чисел можно составить из 5 цифр.

а)  \( A_{5}^3\cdot \frac{2}{5}=60\cdot\frac25=24\)

Ответ: \(24\) четных числа.

б)  \( A_{5}^3\cdot \frac{1}{5}=60\cdot\frac15=12\)

\[ 1 \cdot 4 \cdot 3 = 12 \]

Ответ: \(24\) числа, кратных 5.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Признак чётности: число чётное, если последняя цифра чётная.

2. Признак делимости на 5: число кратно 5, если последняя цифра равна 0 или 5.

Размещением из \(n\) элементов по \(k\) \((k\le n)\) называется любое множество, состоящее из  \(k\) элементов, взятых в определенном порядке из данных \(n\) элементов.

Число размещений из \(n\) элементов по \(k\) обозначают \(A_n^k\) (читается: "\(A\) из \(n\) по \(k\)")

\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

Так как нам дано 5 цифр, из которых нужно выбрать 3, то \(n=5, k=3\). 

В первом пункте нам надо найти число четных чисел. Так как четных цифр всего 2 из 5, то число четных чисел составляет \(\frac25\) от общего числа.

 Во втором пункте нам надо найти число чисел, кратных 5. Так как число должно заканчиваться на 0 или 5, а 0 отсутствует в наборе, то число искомых чисел составляет \(\frac15\) от общего числа.