Упражнение 708 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{ab^2-16a}{5b^3}\cdot\dfrac{20b^5}{a^2b+4a^2}=\)

\(=\dfrac{\cancel{a}(b^2-16)\cdot\cancel{20b^5}^{\color{red}{4b^2}}}{\cancel{5b^3}\cdot a^{\cancel2}(b+4)}=\)

\(=\frac{4b^2(b-4)\cancel{(b+4)}}{a\cancel{(b+4)}}=\)

\(=\frac{4b^2(b-4)}{a}=\frac{4b^3-16b^2}{a}.\)

б) \(\dfrac{7xy}{x^2-4xy+4y^2}\cdot\dfrac{3x-6y}{14y^2}=\)

\(=\dfrac{7xy}{(x-2y)^2}\cdot\dfrac{3(x-2y)}{14y^2}=\)

\(=\dfrac{\cancel{7}x\cancel{y}\cdot3\cancel{(x-2y)}}{(x-2y)^{\cancel{2}}\cdot\cancel{14}_{\color{red}2}y^{\cancel{2}}}=\)

\(=\dfrac{3x}{2y(x-2y)}=\dfrac{3x}{2xy-4y^2}\).

в) \(\small \dfrac{p^3-125}{8p^2}\cdot\dfrac{4p}{p^2+5p+25}=\)

\(\small =\dfrac{(p-5)(p^2+5p+25)}{8p^2}\cdot\dfrac{4p}{p^2+5p+25}=\)

\(\small =\dfrac{(p-5)\cancel{(p^2+5p+25)}\cdot\cancel{4p}}{\cancel{8p^2}_{\color{red}{2p}}\cdot\cancel{(p^2+5p+25)}}=\)

\(=\dfrac{p-5}{2p}\).

г) \(\small \dfrac{9m^2-12mn+4n^2}{3m^3+24n^3}\cdot\dfrac{3m+6n}{2n-3m}=\)

\(\small=\dfrac{(3m-2n)^2}{3(m^3+8n^3)}\cdot\dfrac{3(m+2n)}{2n-3m}=\)

\(\small =\dfrac{(3m-2n)^2}{3(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)}\times\)

\(\small \times\bigg(-\dfrac{3(m+2n)}{(3m-2n)}\bigg)=\)

\(\small =-\dfrac{(3m-2n)^{\cancel{2}}\cdot\cancel{3(m+2n)}}{\cancel{3(m+2n)}(m^2-2mn+4n^2)\cancel{(3m-2n)}}=\)

\(=\dfrac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2}\).

Пояснения:

Используемые формулы и приёмы:

1) Разность квадратов двух выражений:

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

2) Квадрат разности двух выражений:

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

3) Разность кубов двух выражений:

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

4) Сумма кубов двух выражений:

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]

5) При умножении дробей перемножают числители и знаменатели:

\(\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}.\)

После умножения выполняют сокращение общих множителей в числителе и знаменателе, если это возможно.

6)  Свойство степени:

\(a^ma^n=a^{m+n}\);

\(a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

а) В числителе первой дроби выносим общий множитель \(a\):

\(ab^2-16a=a(b^2-16)\).

Разность квадратов раскладываем по формуле:

\(b^2-16=(b-4)(b+4)\).

В знаменателе второй дроби выносим общий множитель \(a^2\):

\(a^2b+4a^2=a^2(b+4)\).

После умножения дробей сокращаем общий множитель \((b+4)\), сокращаем числа \(20\) и \(5\), а также \(b^5\) с \(b^3\) и \(a\) с \(a^2\). Получаем одну дробь \(\dfrac{4b^2(b-4)}{a}\).

б) Трехчлен в знаменателе первой дроби "сворачиваем" в квадрат разности двух выражений:

\(x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2\).

Числитель второй дроби раскладываем:

\(3x-6y=3(x-2y)\).

После умножения появляется общий множитель \((x-2y)\) в числителе и знаменателе, сокращаем его на одну степень.

Также сокращаем \(7\) и \(14\) и \(y\) с \(y^2\).

Итог: \(\dfrac{3x}{2y(x-2y)}\).

в) Разность кубов раскладываем на множители:

\(p^3-125=p^3-5^3=(p-5)(p^2+5p+25)\).

Многочлен \((p^2+5p+25)\) сокращается с таким же множителем в знаменателе второй дроби. Также сокращаем \(4\) и \(8\), а также \(p\) с \(p^2\).

Получаем \(\dfrac{p-5}{2p}\).

г) Числитель первой дроби — квадрат двучлена:

\(9m^2-12mn+4n^2=(3m-2n)^2\).

Знаменатель первой дроби:

\(3m^3+24n^3=3(m^3+8n^3)=3(m^3+(2n)^3)\).

Сумму кубов раскладываем:

\(m^3+(2n)^3=(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)\).

Во второй дроби выносим общий множитель:

\(3m+6n=3(m+2n)\),

а \(2n-3m=-(3m-2n)\).

После умножения сокращаем множители \(3\) и \((m+2n)\), затем сокращаем одну скобку \((3m-2n)\); знак «минус» вносим в числитель и получаем \((2n-3m).\) 

Итог: \(\dfrac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2}\).

а) \((a_n)\) — геометрическая прогрессия.

Доказать:

\(\,a_2\cdot a_6=a_3\cdot a_5\).

Доказательство:

\(a_n=a_1q^{n-1},\)

\(a_2=a_1q,\)

\(a_6=a_1q^5,\)

\(a_3=a_1q^2,\)

\(a_5=a_1q^4\)

\(a_1q\cdot a_1q^5=a_1q^2\cdot a_1q^4\)

\(a_1^2q^6=a_1^2q^6\), значит

\[a_2\cdot a_6=a_3\cdot a_5.\]

б) \((a_n)\) — геометрическая прогрессия.

Доказать:

\(\,a_{n-3}\cdot a_{n+8}=a_n\cdot a_{n+5},\) где \(\,n>3.\)

Доказательство:

\(a_n=a_1q^{n-1}\)

\(a_{n-3}=a_1q^{n-4},\)

\(a_{n+8}=a_1q^{n+7},\)

\(a_n=a_1q^{n-1},\)

\(a_{n+5}=a_1q^{n+4}\)

\(a_1q^{n-4}\cdot a_1q^{n+7}=a_1q^{n-1}\cdot a_1q^{n+4}\)

\(a_1^2q^{(n-4+n+7)}=a_1^2q^{(n-1+n+4)}\)

\(a_1^2q^{2n+3}=a_1^2q^{2n+3}\), значит

\[a_{n-3}\cdot a_{n+8}=a_n\cdot a_{n+5}.\]

Пояснения:

Правила, которые используются:

- формула \(n\) - го члена геометрической прогрессии:

\[a_n=a_1q^{\,n-1};\]

- свойство степени:

\[q^m\cdot q^k=q^{m+k}.\]