Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№713 учебника 2023-2026 (стр. 193):
Докажите, что:
а) значение выражения \(a^2+2a+2\) ни при каком значении переменной \(a\) не может быть отрицательным;
б) выражение \(2x^2-2xy+y^2\) при любых значениях \(x\) и \(y\) принимает неотрицательные значения.
№713 учебника 2014-2022 (стр. 181):
Упростите выражение, применив формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
а) \(1+x+x^2+x^3+x^4\), где \(x\ne 1\) и \(x\ne 0\);
б) \(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6\), где \(x\ne -1\) и \(x\ne 0\).
№713 учебника 2023-2026 (стр. 193):
№713 учебника 2014-2022 (стр. 181):
Вспомните:
№713 учебника 2023-2026 (стр. 193):
а) \( a^2+2a+2=\)
\(=a^2+2a+1+1=\)
\( =(a+1)^2+1>0\).
б) \( 2x^2-2xy+y^2=\)
\( =x^2-2xy+y^2+x^2=\)
\( =(x-y)^2+x^2\ge0\).
Пояснения:
Используемые формулы и свойства:
Квадрат суммы двух выражений:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
Квадрат суммы двух выражений:
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Квадрат любого числа неотрицателен, то есть \((\dots)^2\ge0\).
а) Преобразуем выражение \(a^2+2a+2\), выделяя полный квадрат, для этого слагаемое \(2\) раскладываем на сумму двух единиц:
\(a^2+2a+2=a^2+2a+1+1.\)
Первые три слагаемых образуют квадрат суммы:
\(a^2+2a+1=(a+1)^2.\)
Получаем:
\[(a+1)^2+1.\]
Так как квадрат любого числа неотрицателен, \((a+1)^2\ge0\), то всё выражение больше либо равно 1, а значит никогда не бывает отрицательным.
б) Преобразуем выражение:
\[2x^2-2xy+y^2.\]
Сгруппируем слагаемые:
\[x^2-2xy+y^2+x^2.\]
Первые три слагаемых образуют квадрат разности:
\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.\]
Тогда выражение принимает вид:
\[(x-y)^2+x^2.\]
Каждое из этих слагаемых — квадрат числа, а квадрат любого числа неотрицателен.
Сумма неотрицательных чисел также неотрицательна, значит данное выражение при любых \(x\) и \(y\) неотрицательно.
№713 учебника 2014-2022 (стр. 181):
а) \(1+x+x^2+x^3+x^4\),
где \(x\ne 1\) и \(x\ne 0\)
\(b_1 = 1\), \(b_2 = x\), \(n = 5\)
\(q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{x}{1} = x\)
\(S_n=\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q-1}\)
\(S_5 = \dfrac{1\cdot(x^5 - 1)}{x-1} =\dfrac{x^5 - 1}{x-1}.\)
Ответ: \(\dfrac{x^5 - 1}{x-1}.\)
б) \(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6\)
где \(x\ne -1\) и \(x\ne 0\).
\(b_1 = 1\), \(b_2 = -x\), \(n = 7\)
\(q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{-x}{1} = -x\)
\(S_n=\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q-1}\)
\(S_7 = \dfrac{1\cdot((-x)^7 - 1)}{-x-1} =\)
\(=\dfrac{-(x^7 + 1)}{-(x+1)}=\dfrac{x^7 + 1}{x+1}.\)
Ответ: \(\dfrac{x^7 + 1}{x+1}.\)
Пояснения:
Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\(S_n=\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q-1}\), \(q\ne 1\).
Знаменатель геометрической прогрессии:
\(q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} \).
Вернуться к содержанию учебника