Упражнение 713 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 193

а) \(a^2+2a+2=a^2+2a+1+1=(a+1)^2+1\ge1>0\).

б) \(2x^2-2xy+y^2=x^2-2xy+y^2+x^2=(x-y)^2+x^2\ge0\).

Пояснения:

Используемые формулы и свойства:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

Квадрат любого числа неотрицателен, то есть \((\dots)^2\ge0\).

а)

Преобразуем выражение \(a^2+2a+2\), выделяя полный квадрат.

Добавим и вычтем единицу:

\[a^2+2a+2=a^2+2a+1+1.\]

Первые три слагаемых образуют квадрат суммы:

\[a^2+2a+1=(a+1)^2.\]

Получаем:

\[(a+1)^2+1.\]

Так как квадрат любого числа неотрицателен, \((a+1)^2\ge0\).

Следовательно, всё выражение больше либо равно 1, а значит никогда не бывает отрицательным.

б)

Преобразуем выражение:

\[2x^2-2xy+y^2.\]

Сгруппируем слагаемые:

\[x^2-2xy+y^2+x^2.\]

Первые три слагаемых образуют квадрат разности:

\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.\]

Тогда выражение принимает вид:

\[(x-y)^2+x^2.\]

Каждое из этих слагаемых — квадрат числа, а квадрат любого числа неотрицателен.

Сумма неотрицательных чисел также неотрицательна, значит данное выражение при любых \(x\) и \(y\) неотрицательно.