Упражнение 700 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\small 8x^2(x-4)-(2x-3)(4x^2+6x+9)-17=\)

\(\small =8x^3-32x^2-((2x)^3-3^3)-17=\)

\(\small =8x^3-32x^2-(8x^3-27)-17=\)

\(\small =8x^3-32x^2-8x^3+27-17=\)

\(\small =-32x^2+10.\)

При \(x=0{,}5:\)

\(\small -32\cdot(0,5)^2+10=\)

\(\small =-32\cdot0,25+10=-8+10=2.\)

Ответ: значение выражения при \(x=0{,}5\) равно \(2.\)

б) \(\small 4a^2(3a-2)-3a(2a-1)^2-(2a-5)(2a+5)=\)

\(\small =12a^3-8a^2-3a(4a^2-4a+1)-(4a^2-25)=\)

\(\small =12a^3-8a^2-3a(4a^2-4a+1)-(4a^2-25)=\)

\(\small =12a^3-8a^2-12a^3+12a^2-3a-4a^2+25=\)

\(\small =25-3a.\)

При \(a=3{,}3:\)

\(25-3a=25-3\cdot3{,}3=\)

\(=25-9{,}9=15{,}1.\)

Ответ: значение выражения при \(a=3{,}3\) равно \(15,1.\)

в) \( (9x^2-3xb+b^2)(3x+b)-\)

\(-9x(3x^2-b)-b^3=\)

\(=27x^3+b^3-27x^3+9xb-b^3=\)

\(=9xb.\)

При \(x=-\dfrac{1}{3},\ b=\dfrac{2}{3}\):

\(9xb=9\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)\cdot\dfrac{2}{3}=\)

\(=9\cdot\left(-\dfrac{2}{9}\right)=-2.\)

Ответ: значение выражения при \(x=-\dfrac{1}{3},\ b=\dfrac{2}{3}\) равно \(-2.\)

г) \(\small x(3x-2y)(3x+2y)-\)

\(\small -x(3x+2y)^2+2xy(5x+2y)=\)

\(\small =x(9x^2-4y^2)-x(9x^2+12xy+4y^2)+10x^2y+4xy^2=\)

\(\small =x(9x^2-4y^2-9x^2-12xy-4y^2)+10x^2y+4xy^2=\)

\(\small =x(-12xy-8y^2)+10x^2y+4xy^2=\)

\(\small =-12x^2y-8xy^2+10x^2y+4xy^2=\)

\(\small =-2x^2y-4xy^2=-2x^2y-4xy^2=\)

\(\small =-2xy(x+2y).\)

При \(x=0{,}5,\ y=-1:\)

\(-2xy(x+2y)=\)

\(=-2\cdot0,5\cdot(-1)(0,5+2\cdot(-1))=\)

\(=0,5-2=-1,5\)

Ответ: значение выражения при \(x=0{,}5,\ y=-1\) равно \(-1,5.\)

Пояснения:

Используемые формулы:

1) Разность квадратов двух выражений:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

2) Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений: 

\((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\).

3) Сумма кубов двух выражений: 

\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\).

4) Разность кубов двух выражений: 

\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+b^3\).

5) Распределительный закон умножения.

а) \(S_n=-n^2+3n\)

\(x_n=S_n-S_{n-1}\)

1) \(S_{n-1} = -(n-1)^2+3(n-1)=\)

\(=-(n^2 - 2n + 1) + 3n - 3=\)

\(=-n^2 +2n -1 + 3n - 3 =\)

\(=-n^2 + 5n - 4\).

2) \(x_n=(-n^2+3n)-\bigl(-n^2 + 5n - 4\bigr)=\)

\(=-\cancel{n^2} + 3n + \cancel{n^2} - 5n + 4 =\)

\(=-2n+4\).

3) \(x_{n+1}-x_n=-2(n+1) + 4 - (-2n + 4) =\)

\(=-\cancel{2n} - 2 + \cancel4 + \cancel{2n} - \cancel4 =-2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

б) \(S_n=2n^2-1\)

\(x_n=S_n-S_{n-1}\)

1) \(S_{n-1} = 2(n-1)^2-1=\)

\(=2(n^2 - 2n + 1) - 1 =\)

\(=2n^2 - 4n + 2 - 1 =\)

\(=2n^2 - 4n + 1\).

2) \(x_n=(2n^2-1)-\bigl(2n^2 - 4n + 1\bigr)=\)

\(x_n=\cancel{2n^2}-\cancel1-\cancel{2n^2}+4n-2+\cancel1\)

\(=4n-2\)

\(x_{n+1}-x_n=(4(n+1)-2) - (4n - 2) =\)

\(=\cancel{4n} + 4 - \cancel2 - \cancel{4n} + \cancel2 =4\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

в) \(S_n=n^2+2n-8\)

\(x_n=S_n-S_{n-1}\)

1) \(S_{n-1} = (n-1)^2+2(n-1)-8 =\)

\(=n^2 -\cancel{2n} + 1 + \cancel{2n} -2 - 8=\)

\(=n^2 -9\)

2) \(x_n=(n^2+2n-8)-\bigl(n^2 -9\bigr)=\)

\(=\cancel{n^2}+2n-8-\cancel{n^2}+ 9 =\)

\(=2n+1\).

3) \(x_{n+1}-x_n=(2(n+1)+1) - (2n+1) =\)

\(=\cancel{2n} + 2 + \cancel1 - \cancel{2n} - \cancel1 = 2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

г) \(S_n=6n+5\)

\(x_n=S_n-S_{n-1}\)

1) \(S_{n-1} = 6(n-1)+5 =\)

\(=6n - 6 + 5 = 6n - 1\).

2) \(x_n=(6n+5)-(6n - 1)=\)

\(=6n + 5 - 6n + 1=6\)

3) \(x_{n+1}-x_n=0\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Член последовательности выражается через суммы:

\[x_n=S_n-S_{n-1}.\]

2) Последовательность является арифметической, если разность соседних членов постоянна.

Вывод.

Во всех пунктах получилась формула вида \(x_n=an+b\), а значит разность соседних членов постоянна.