Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№680 учебника 2023-2026 (стр. 187):
Упростите выражение, применив формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
а) \(1+x+x^2+x^3+x^4\), где \(x\ne 1\) и \(x\ne 0\);
б) \(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6\), где \(x\ne -1\) и \(x\ne 0\).
№680 учебника 2014-2022 (стр. 177):
Найдите:
а) первый положительный член арифметической прогрессии
\(-10\frac{1}{2};\ -10\frac{1}{4};\ -10;\ \dots\);
б) первый отрицательный член арифметической прогрессии
\(8\frac{1}{2};\ 8\frac{1}{3};\ 8\frac{1}{6};\ \dots\).
№680 учебника 2023-2026 (стр. 187):
Вспомните:
№680 учебника 2014-2022 (стр. 177):
Вспомните:
№680 учебника 2023-2026 (стр. 187):
а) \(1+x+x^2+x^3+x^4\),
где \(x\ne 1\) и \(x\ne 0\)
\(b_1 = 1\), \(b_2 = x\), \(n = 5\)
\(q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{x}{1} = x\)
\(S_n=\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q-1}\)
\(S_5 = \dfrac{1\cdot(x^5 - 1)}{x-1} =\dfrac{x^5 - 1}{x-1}.\)
Ответ: \(\dfrac{x^5 - 1}{x-1}.\)
б) \(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6\)
где \(x\ne -1\) и \(x\ne 0\).
\(b_1 = 1\), \(b_2 = -x\), \(n = 7\)
\(q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{-x}{1} = -x\)
\(S_n=\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q-1}\)
\(S_7 = \dfrac{1\cdot((-x)^7 - 1)}{-x-1} =\)
\(=\dfrac{-(x^7 + 1)}{-(x+1)}=\dfrac{x^7 + 1}{x+1}.\)
Ответ: \(\dfrac{x^7 + 1}{x+1}.\)
Пояснения:
Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\(S_n=\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q-1}\), \(q\ne 1\).
Знаменатель геометрической прогрессии:
\(q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} \).
№680 учебника 2014-2022 (стр. 177):
а) \(-10\frac{1}{2};\ -10\frac{1}{4};\ -10;\ \dots\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1=-10\frac{1}{2}=-\frac{21}{2}\)
\(a_2=-10\frac{1}{4}=-\frac{41}{4}\)
\(d=-\frac{41}{4}-\left(-\frac{21}{2}\right)=\)
\(=-\frac{41}{4}+\frac{21}{2} ^{\color{blue}{\backslash2}} =-\frac{41}{4}+\frac{42}{4}=\frac{1}{4}\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-\frac{21}{2}+(n-1)\cdot\frac{1}{4}\)
\(a_n=-\frac{21}{2}+\frac{n-1}{4}\)
\(a_n>0\)
\(-\frac{21}{2}+\frac{n-1}{4}>0\)
\(\frac{n-1}{4}>\frac{21}{2}\) \(/\times 4\)
\(n-1>42\)
\(n > 42 + 1\)
\(n > 43\)
\(n=44\)
\(a_{44}=a_1 + (44 - 1)d=\)
\(=-\frac{21}{2}+43\cdot\frac{1}{4}=-\frac{21}{2} ^{\color{blue}{\backslash2}} +\frac{43}{4}=\)
\(=-\frac{42}{4} +\frac{43}{4}=\frac{1}{4}\).
Ответ: первый положительный член арифметической прогрессии равен \(\frac{1}{4}\).
б) \(8\frac{1}{2};\ 8\frac{1}{3};\ 8\frac{1}{6};\ \dots\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1=8\frac{1}{2}=\frac{17}{2}\)
\(a_2=8\frac{1}{3}=\frac{25}{3}\)
\(d=\frac{25}{3} ^{\color{blue}{\backslash2}} -\frac{17}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} =\frac{50}{6}-\frac{51}{6}=-\frac{1}{6}\)
\(a_n=\frac{17}{2}+(n-1)\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)\)
\(a_n = \frac{17}{2}-\frac{n-1}{6}\)
\(a_n<0\)
\(\frac{17}{2}-\frac{n-1}{6}<0\)
\(-\frac{n-1}{6}<-\frac{17}{2}\) \(/\times (-6)\)
\(n-1>51\)
\(n > 51 + 1\)
\(n > 52\)
\(n=53\)
\(a_{53}=a_1 + (53 - 1)d=\)
\(=\frac{17}{2}-52\cdot\frac{1}{6}=\frac{17}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\frac{52}{6}=\)
\(=\frac{51}{6} -\frac{52}{6}=-\frac{1}{6}\)
Ответ: первый отрицательный член арифметической прогрессии равен \(-\frac{1}{6}\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
2) Первый положительный (или отрицательный) член — это член с наименьшим номером, удовлетворяющий неравенству \(a_n>0\) (или \(a_n<0\)).
3) Смешанные числа переводятся в неправильные дроби.
а) Первый положительный член.
Так как прогрессия возрастает (\(d>0\)), её члены постепенно увеличиваются. Поэтому первый положительный член находится решением неравенства \(a_n>0\).
б) Первый отрицательный член.
Так как прогрессия убывает (\(d<0\)), её члены уменьшаются. Поэтому первый отрицательный член находится решением неравенства \(a_n<0\).
Вернуться к содержанию учебника