Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№644 учебника 2023-2026 (стр. 183):
Последовательность \((a_n)\) — арифметическая прогрессия. Найдите:
а) \(a_{12}\), если \(a_1=9\sqrt{3}-2\) и \(d=2-\sqrt{3}\);
б) \(a_8\), если \(a_1=\dfrac{5\sqrt{3}-7}{3}\) и \(d=\dfrac{\sqrt{3}-2}{3}.\)
№644 учебника 2014-2022 (стр. 167):
Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4, мы получим геометрическую прогрессию.
№644 учебника 2023-2026 (стр. 183):
Вспомните:
№644 учебника 2014-2022 (стр. 167):
Вспомните:
№644 учебника 2023-2026 (стр. 183):
а) \((a_n)\) — арифметическая прогрессия.
\(a_1=9\sqrt{3}-2\) и \(d=2-\sqrt{3}\)
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
\(a_{12}=a_1+(12-1)d=\)
\(=a_1+11d=\)
\(=9\sqrt{3}-2+11(2-\sqrt{3})=\)
\(=9\sqrt{3}-2+22-11\sqrt{3}=\)
\(=(9\sqrt{3}-11\sqrt{3})+(22-2)=\)
\(=-2\sqrt{3}+20\).
б) \((a_n)\) — арифметическая прогрессия.
\(a_1=\dfrac{5\sqrt{3}-7}{3}\) и \(d=\dfrac{\sqrt{3}-2}{3}.\)
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
\(a_8=a_1+(8-1)d=\)
\(=a_1+7d=\)
\(=\dfrac{5\sqrt{3}-7}{3}+7\cdot\dfrac{\sqrt{3}-2}{3}=\)
\(=\dfrac{5\sqrt{3}-7+7(\sqrt{3}-2)}{3}=\)
\(=\dfrac{5\sqrt{3}-7+7\sqrt{3}-14}{3}=\)
\(=\dfrac{12\sqrt{3}-21}{3}=\dfrac{3(4\sqrt{3}-7)}{3}=\)
\(=4\sqrt{3}-7.\)
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
2) При вычислениях с иррациональными числами сначала раскрываются скобки, затем приводятся подобные члены.
а) Подробное пояснение.
Так как прогрессия арифметическая, каждый следующий член получается прибавлением разности \(d\).
Чтобы найти \(a_{12}\), к первому члену нужно прибавить \(11\) раз разность:
\[a_{12}=a_1+11d.\]
После подстановки и раскрытия скобок отдельно собираются слагаемые с \(\sqrt{3}\) и обычные числа.
б) Подробное пояснение.
Аналогично, для нахождения восьмого члена используется формула:
\[a_8=a_1+7d.\]
Так как оба выражения имеют одинаковый знаменатель \(3\), удобно сразу объединить их в одну дробь, а затем упростить результат.
№644 учебника 2014-2022 (стр. 167):
Пусть \(a_1, a_2, a_3\) - арифметическая прогрессия.
\(a_2=a_1+d; a_3=a_1+2d.\)
Тогда \((a_1+1), (a_2+1), (a_3+4)\) - геометрическая прогрессия.
По условию:
\(a_1+ a_2+ a_3=15\)
Т.к. \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\)
Запишем систему:
Пусть числа арифметической прогрессии: \(5-d;\ 5;\ 5+d\).
\( \begin{cases} a_1+a_1+d+a_1+2d=15 \\ (a_2+1)^2 =(a_1+1)(a_3+4) \end{cases} \)
\( \begin{cases} 3a_1+3d=15 \color{red}| :3 \\ \small{(a_1+d+1)^2 =(a_1+1)(a_1+2d+4)} \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1+d=5 \\ \small{(a_1+d+1)^2 =(a_1+1)(a_1+2d+4)} \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1=5-d \\ \small{(5-d+d+1)^2 =(5-d+1)(5-d+2d+4)} \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1=5-d \\ 6^2 =(6-d)(9+d) \end{cases} \)
\(36 =(6-d)(9+d)\)
\(36=54+6d-9d-d^2\)
\(36=54-3d-d^2\)
\(d^2+3d-18=0\)
\(D=b^2-4ac=\)
\(=3^2-4\cdot1\cdot(-18) = 81>0\) - уравнение имеет два корня.
\(d_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, \sqrt D=9\)
\(d_{1}=\frac{-3+9}{2}=3\)
\(d_{2}=\frac{-3-9}{2}=-6\)
Так как числа положительные и возрастающие, берём \(d=3\):
\(a_1=5-d=5-3=2;\)
\(a_2=a_1+d=2+3=5;\)
\(a_3=a_1+2d=2+2\cdot3=8.\)
Ответ: \(2; 5; 8.\)
Пояснения:
1. Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии.
Общий вид \(n\)-го члена арифметической прогрессии задаётся формулой:
\(c_n=c_1+(n-1)d.\)
2. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
3. Свойство геометрической прогрессии:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.
\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\)
4. Формула корней квадратного уравнения.
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\) где \(D=b^2-4ac\)
Вернуться к содержанию учебника