Вернуться к содержанию учебника
Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?
Вспомните:
Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию:
\[a-d,\ a,\ a+d.\]
Периметр треугольника:
\[(a-d)+a+(a+d)=24\]
\[a-\cancel d+a+a+\cancel d=24\]
\(3a = 24\)
\(a = \frac{24}{3}\)
\[a=8.\]
\(8\) (см) - средняя сторона треугольника.
\(8-d\) (см) - меньшая сторона треугольника.
\(8+d\) (см) - большая сторона треугольника.
По неравенству треугольника:
\[(8-d)+8>8+d\]
\[8-d+8>8+d\]
\[-d - d>8-16\]
\(-2d > -8\) \(/ :(-2)\)
\[d<4\]
Так как длины сторон — целые числа, то \(d\) — целое неотрицательное число:
\[d=1,\ 2,\ 3.\]
Возможные длины сторон:
При \(d=1\): \(7,\ 8,\ 9\).
При \(d=2\): \(6,\ 8,\ 10\).
При \(d=3\): \(5,\ 8,\ 11\).
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Если три числа образуют арифметическую прогрессию, то их можно записать в виде
\(a-d,\ a,\ a+d\).
2) Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.
3) Для существования треугольника сумма любых двух его сторон должна быть больше третьей.
Вернуться к содержанию учебника