Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№632 учебника 2023-2026 (стр. 182):
Докажите, что при любом натуральном \(n\) верно равенство
\[1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.\]
№632 учебника 2014-2022 (стр. 166):
Последовательность \((x_n)\) — геометрическая прогрессия. Найдите:
а) \(x_1\), если \(x_6 = 0{,}32,\ q = 0{,}2\);
б) \(q\), если \(x_3 = -162,\ x_5 = -18\).
№632 учебника 2023-2026 (стр. 182):
Вспомните:
№632 учебника 2014-2022 (стр. 166):
№632 учебника 2023-2026 (стр. 182):
\(1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2\)
1) При \(n=1\):
\(1\cdot(3\cdot1+1)=1\cdot(1+1)^2\)
\(3 + 1 = 2^2\)
\(4 = 4\) - верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\):
\[1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.\]
Докажем для \(n=k+1\):
\[1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=\]
\[=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)=\]
\[=(k+1)\left(k(k+1)+(3k+4)\right)=\]
\[=(k+1)\left(k^2+k+3k+4\right)=\]
\[=(k+1)\left(k^2+4k+4\right)\]
\[=(k+1)(k+2)^2\]
\[=(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)^2.\]
Равенство верно при \(n =k+1\). Значит, оно верно при любом натуральном \(n\).
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Математическая индукция. Чтобы доказать утверждение для всех \(n\in\mathbb{N}\), нужно:
а) доказать для \(n=1\);
б) предположить верность для \(n=k\) и вывести из этого верность для \(n=k+1\).
2) Вынесение общего множителя:
\(ab+ac=a(b+c)\).
3) Формула квадрата суммы:
\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]
№632 учебника 2014-2022 (стр. 166):
а) \(x_n=x_1q^{n-1}\)
\(x_6 = 0{,}32,\ q = 0{,}2\)
\(x_6 = x_1\cdot q^{6-1}\)
\(x_1=\frac{x_6}{q^5}=\frac{0,32}{0{,}2^5}=\)
\(=\dfrac{0{,}32}{0{,}00032} = 1000\).
Ответ: \(x_1=1000\).
б) \(x_3 = -162,\ x_5 = -18\).
\(|x_4|=\sqrt{x_3\cdot x_5}=\sqrt{-162\cdot(-18)}=\)
\(=\sqrt{2916}=54\)
\(x_4=54\) или \(x_4=-54.\)
\(q=\frac{x_4}{x_3}\)
Тогда:
\(q=\frac{54}{-162}=-\frac13\)
или
\(q=\frac{-54}{-162}=\frac13.\)
Ответ: \(q=\pm\frac13.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:
\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Свойство геометрической прогрессии:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.
\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно, \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)
Вернуться к содержанию учебника