Упражнение 505 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) и \(y\) - искомые числа.

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} x^2-y^2=100,\\ 3x-2y=30 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} x^2-y^2=100,\\ 2y=3x-30  / : 2 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} x^2-(1,5x-15)^2=100,\\ y=1,5x-15 \end{cases}\) 

\(x^2-(1,5x-15)^2=100\)

\(x^2 -(2,25x^2 -45x + 225) - 100 = 0\)

\(x^2 -2,25x^2 +45x - 225 - 100 = 0\)

\(-1,25x^2 + 45x - 325 = 0\) \(/\times(-4)\)

\(5x^2 - 180x + 1300 = 0\)  \(/ : 5\)

\(x^2 - 36x + 260 = 0\)

\(D = (-36)^2 - 4\cdot1\cdot260 =\)

\(=1296 - 1040 = 256 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{256} = 16\).

\(x_1 =\frac{36 + 16}{2\cdot1}=\frac{52}{2} = 26\).

\(x_2 =\frac{36 - 16}{2\cdot1}=\frac{20}{2} = 10\).

Если \(x=26\), то

\(y=1,5\cdot26-15 = 39 - 15 =24\).

Если \(x=10\), то

\(y=1,5\cdot10-15 = 15 - 15 =0\).

Ответ: \(26\) и \(24\) или \(10\) и \(0\).

Пояснения:

Введём обозначения, так как задача текстовая: \(x\) — первое число, \(y\) — второе число. Это позволяет записать условия задачи в виде уравнений. Из которых составляем систему и решаем методом подстановки: из одного уравнения системы выражается одна переменная и подставляется в другое уравнение.

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\),

решаем с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D> 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

После нахождения возможных значений \(x\) каждое из них подставляется обратно для вычисления \(y\). Обе найденные пары чисел удовлетворяют условиям задачи.

\( y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{15 - x}. \)

\( \begin{cases} x - 5 \ge 0\\ 15 - x \ge 0  \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\ge 5\\  - x \ge -15        \color{red}|\times(-1)  \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\ge 5\\   x \le 15 \end{cases} \)

Ответ: \(x\in [5;\, 15]. \)

Пояснения:

Для выражений с квадратным корнем необходимо выполнение условия: подкоренное выражение неотрицательно. Также у рациональных дробей знаменатель должен быть отличен от нуля.

Поэтому каждое выражение преобразуется в систему, состоящую из двух неравенств и уравнения. Решение системы даёт допустимые значения переменной.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

Функция является суммой двух корней, значит должны одновременно выполняться оба условия: \[ x - 5 \ge 0,\qquad 15 - x \ge 0. \]

Пересечение двух промежутков: \([5; +\infty)\) и \((-\infty; 15]\) даёт отрезок \([5;15]\).