Упражнение 503 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) и \(y\) - искомые числа,

где \(x>y>0\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} x+y=5(x-y),\\ x^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} x+y=5x-5y,\\ x^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} x-5x=-5y - y,\\ x^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} -4x=-6y,  / : (-4) \\ x^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} x=\frac{6}{4}y, \\ x^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} x=\frac{3}{2}y, \\[6pt] \left(\frac{3}{2}y\right)^2-y^2=180 \end{cases}\) 

\(\left(\frac{3}{2}y\right)^2-y^2=180\)

\(\frac{9}{4}y^2-y^2=180\)  \(/\times4\)

\(9y^2 - 4y^2 = 720\)

\(5y^2 = 720\)

\(y^2 = \frac{720}{5}\)

\(y^2 = 144\)

\(y = \pm\sqrt{144}\)

\(y= \pm12\)

\(y = -12\) - не удовлетворяет условию \(y > 0\).

Если \(y = 12\), то

\(x=\frac{3}{\cancel2}\cdot\cancel{12}  ^{\color{blue}{6}}  = 3\cdot6 = 18\).

Ответ: числа \(18\) и \(12\).

Пояснения:

Сначала вводим обозначения, так как задача текстовая. Пусть \(x\) — большее число, \(y\) — меньшее. Это позволяет правильно записать разность и сумму.

Из условия «сумма в 5 раз больше разности» составляется уравнение:

\[x+y=5(x-y).\]

Условие о разности квадратов дает уравнение:

\[x^2-y^2=180.\]

Из этих двух уравнений составляем систему.

При решении системы использовали  метод подстановки: из первого уравнения найдено соотношение между \(x\) и \(y\). Это уменьшает количество неизвестных.

После подстановки получается уравнение только с одной переменной \(y\). Так как числа положительные, берётся положительный корень.

В результате получаем два числа: \(12\) и \(18\). Они удовлетворяют обоим условиям задачи.

\(y=kx+b\) - уравнение прямой.

1) Прямая, проходящая через точки \((0,0)\) и \((3,3)\):

\( \begin{cases} 0=k\cdot0+b\\ 3=k\cdot3+b \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=0 \\ 3k=3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=0 \\ k=1 \end{cases} \)

\(y=x\)

2) Прямая, проходящая через точки \((0,-2)\) и \((3,-2)\), - это горизонтальная линия \(y = -2\).

\[ y \ge x,\qquad y \ge -2. \]

Ответ: система неравенств угла: \[ \begin{cases} y \le x,\\ y \ge -2. \end{cases} \]

Пояснения:

Общее уравнение прямой:

\(y=kx+b\).

Неравенство \( y \le kx+b \) задаёт полуплоскость, расположенную не выше прямой \(y = kx + b\) . Неравенство \( y \ge kx + b \) задаёт полуплоскость, расположенную не ниже прямой \(y = kx + b\).