Упражнение 381 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(25x^2 + 6x \leq 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x(25x + 6) = 0\)

\(x = 0\)  или  \(25x = -6\)

                     \( x = -\dfrac{6}{25}\)

Ответ: \(x\in \left[-\frac{6}{25}; 0\right]\).

б) \(x^2 - 169 > 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 - 169 = 0\)

\(x^2 = 169\)

\(x = \pm13\)

Ответ: \(x \in (-\infty;\,-13) \cup (13;\,\infty)\).

в) \(4x^2 - 225 \leq 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(4x^2 - 225 = 0\)

\(4x^2 = 225\)

\(x^2 = \dfrac{225}{4} \)

\(x = \pm\dfrac{15}{2} \)

\(x = \pm7,5\)

Ответ: \(x\in [-7,5; 7,5]\).

г) \(y^2 < 10y + 24\)

\(y^2 - 10y - 24 < 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(y^2 - 10y - 24 = 0\)

\(D = (-10)^2 - 4\cdot1\cdot (-24) = \)

\( = 100 + 96 = 196 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{196} = 14\).

\(x_{1} = \frac{10 + 14}{2\cdot1} = \frac{24}{2} = 12\).

\(x_{2} = \frac{10 - 14}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

Ответ: \(x\in (-2; 12)\).

д) \(15y^2 + 30 > 22y + 7\)

\(15y^2 + 30 - 22y - 7 > 0\)

\(15y^2 - 22y + 23 > 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(15y^2 - 22y + 23 = 0\)

\(D = (-22)^2 - 4\cdot 15 \cdot 23 =\)

\(=484 - 1380 = -896 < 0\) - корней нет.

Ответ: \(y \in (-\infty; +\infty)\).

е) \(3y^2 - 7 \leq 26y + 70\)

\(3y^2 - 7 - 26y - 70 \leq 0\)

\(3y^2 - 26y - 77 \leq 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(D = (-26)^2 - 4\cdot 3 \cdot (-77) =\)

\(=676 + 924 = 1600 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{1600} = 40\).

\(y_{1} = \dfrac{26 + 40}{2\cdot 3} = \dfrac{66}{6} = 11.\)

\(y_{2} = \dfrac{26 - 40}{2\cdot 3} = \dfrac{-14}{6} = -\frac{7}{3} =\)

\(=-2\frac{1}{3}.\)

Ответ: \(x\in \left[-2\frac{1}{3}; 11\right]\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

В случае, когда коэффициент \(b = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + c\), корни которого: \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).

а) \(x^4 - 12x^2 + c = 0\)

Пусть \(t = x^2 \ge 0\).

\( t^2 - 12t + c = 0 \)

\(D = (-12)^2 - 4\cdot1\cdot c =\)

\(= 144 - 4c\)

1) Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

\(144 - 4c < 0\)

\(-4c < -144\)   \(/ : (-4)\)

\(с > 36\)

2) Если \(D \ge 0\), то уравнение имеет корни, но они должны быть отрицательны.

\(144 - 4c \ge 0\)

\(-4c \ge -144\)   \(/ : (-4)\)

\(с \le 36\)

\(t_{1,2} = \frac{12\pm\sqrt D}{2} \)

\(y = \frac{12+\sqrt D}{2} > 0\), значит, исходное уравнение имеет не менее двух корней \(x = \pm\sqrt t\) при \(с \le 36\).

Ответ: \( c > 36. \)

б) \(x^4 + cx^2 + 100 = 0\)

Пусть \(t = x^2 \ge 0\).

\[ t^2 + ct + 100 = 0 \]

\(D = c^2 - 4\cdot1\cdot100 =\)

\(=c^2 - 400\).

1) Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

\(c^2 - 400 < 0\)

\(y = c^2 - 400\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(с^2 - 400 = 0\)

\(c^2 = 400\)

\(c = \pm \sqrt{400}\)

\(c = \pm 20\)

При \(c\in(-20; 20)\) исходное уравнение не имеет корней.

2) Если \(D \ge 0\), то уравнение имеет корни, но они должны быть отрицательны.

\(c^2 - 400 \ge 0\)

\(D \ge 0\) при \(c \in (-\infty; -20] \cup [20; +\infty)\).

\(t_{1,2} = \frac{-c \pm \sqrt D}{2a}\).

Оба корня будут отрицательны при

\(-c \pm \sqrt D < 0\).

Если \(c \in (-\infty; -20]\), то \(-c > 0\) и \(-c + \sqrt D > 0\), значит, исходное уравнение имеет не менее двух корней \(x = \pm\sqrt t\).

Если \(c \in [20; +\infty)\), то \(-c < 0\) и

\(-c + \sqrt D < 0\)

\(-c < -\sqrt D \)   \(/\times(-1)\)

\(c > \sqrt D\)

\(c^2 > D\)

\(c^2 > c^2 - 400\) - верно при любом \(c\), значит уравнение \( t^2 + ct + 100 = 0\) имеет два отрицательных корня, тогда уравнение \(x^2 = t\) не имеет корней.

При \(c \in [20; +\infty)\) исходное уравнение не имеет корней.

3) \((-20; 20) \cup [20; +\infty) = (-20; +\infty) \)

Ответ: \(c\in (-20; +\infty) \).

Пояснения:

1. Каждое биквадратное уравнение заменяется на квадратное по \(t = x^2\), и мы ищем, когда оно не имеет неотрицательных корней.

2. В пункте а) оказывается, что при наличии корней один из них обязательно будет ≥ 0, поэтому единственная возможность — отсутствие корней вообще, то есть \(D < 0\).

3. В пункте б) возможны два варианта: нет корней (что удовлетворяет условию), или оба корня отрицательные.