Упражнение 316 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16\)

\((a^2 - 4)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16\)

\(a^4 - 16 = 25a^2 - 16\)

\(a^4 - \cancel{16} - 25a^2 + \cancel{16} = 0\)

\(a^4 - 25a^2 = 0\)

\(a^2(a^2 - 25) = 0\)

\(a^2 = 0\) или \(a^2 - 25 = 0\)

\(a = 0\)          \(a^2 = 25\)

                     \(a = \pm \sqrt{25}\)

                     \(a = \pm 5\)

Ответ: \(-5; \, 0; \, 5\).

б) \((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1\)

\((x^2 - 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1\)

\(x^4 - 1 = 6x^2 - 1\)

\(x^4 - \cancel1 - 6x^2 + \cancel1 = 0\)

\(x^4 - 6x^2 = 0\)

\(x^2(x^2 - 6) = 0\)

\(x^2 = 0\) или \(x^2 - 6 = 0\)

\(x = 0\)          \( x^2 = 6\)

                     \(x = \pm \sqrt{6}\)

Ответ: \(-\sqrt{6}; \, 0; \, \sqrt{6}\).

Пояснения:

Правило разности квадратов:

\[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. \]

Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{m\cdot n}\).

Чтобы решить уравнение, переносим все компоненты из правой части уравнения в левую со сменой знака на противоположный, чтобы справа получился нуль, и привести в левой части подобные слагаемые.

Во всех случаях разложение приводит к уравнению вида \[ x^2(x^2 - k) = 0, \] которое раскладывается на два уравнения: \[ x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = k. \]

Уравнения вида \(x^2 = a\) приводят к решениям \[ x = \pm \sqrt{a}. \]

1) \((y - 2)(y - 3) - 4 =\)

\(=y^{2} - 5y + 6 - 4 =\)

\(=y^{2} - 5y + 2\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(y^{2} - 5y + 2=0\)

\(D = (-5)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 2 =\)

\(=25 - 8 = 17 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

Функция принимает как положительные так и отрицательные значения.

2) \((5 - y)(1 - y) + 4 =\)

\(=5 - 5y - y + y^2 + 4 =\)

\(=y^2 -6y + 9\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(y^2 - 6y + 9 = 0\)

\(D = 6^{2} - 4\cdot1\cdot 9 =\)

\(=36 - 36 = 0\) - уравнение имеет 1 корень.

Функция принимает положительные значения и значение, равное нулю.

3) \((5 - y)(1 - y) + 10 =\)

\(=5-5y-y+y^2 + 10 =\)

\(=y^2 - 6y + 15\) - парабола, у которой ветви направлены вверх.

\(y^2 - 6y + 15 = 0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot15 = \)

\(=36 - 60 = -24 < 0\) - корней нет.

Функция принимает только положительные значения.

4) \((y - 8)(y - 7) - 60 =\)

\(=y^{2} - 7y - 8y + 56 - 60 = \)

\(=y^{2} - 15y - 4\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(y^{2} - 15y - 4 = 0\)

\(D = (-15)^{2} - 4\cdot 1\cdot (-4) = \)

\(=225 + 16 = 241 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

Функция принимает как положительные так и отрицательные значения.

Ответ: 3.

Пояснения:

Значения функции положительны в том случае, когда график функции расположен выше горизонтальной оси, а отрицательны в том случае, когда график функции расположен ниже горизонтальной оси.

1. Как определить, что выражение всегда положительно?

Квадратный трёхчлен \(ay^{2}+by+c\) всегда положителен при всех \(y\), если:

• \(a > 0\);

• дискриминант \(D = b^{2}-4ac < 0\).

2. Проверка каждого выражения.

Только в третьем выражении дискриминант отрицателен, значит, именно это выражение принимает положительное значение при любом значении \(y\).