Упражнение 296 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x-1}{x-3} \ge 0\)

\(\begin{cases} (x-1)(x-3) \ge 0, \\ x - 3 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x-1)(x-3) \ge 0, \\ x \ne 3 \end{cases}\)

\((x-1)(x-3) \ge 0\)

\((x-1)(x-3) = 0\)

\(x - 1 = 0\)   или   \(x - 3 = 0\)

\(x = 1\)                   \(x = 3\)

Ответ: \(x\in(-\infty;1]\cup(3;+\infty)\).

б) \(\dfrac{x+6}{x-5} \le 0\)

\(\begin{cases} (x+6)(x-5) \le 0, \\ x - 5 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x+6)(x-5) \le 0, \\ x \ne 5 \end{cases}\)

\((x+6)(x-5) \le 0\)

\((x+6)(x-5) = 0\)

\(x + 6 = 0\)   или   \(x - 5 = 0\)

\(x = - 6\)                \(x = 5\)

Ответ: \(x\in[-6;5)\).

в) \(\dfrac{2-x}{x}\ge0\).

\(\begin{cases} (2-x)x \ge 0, \\ x \ne 0 \end{cases}\)

\((2-x)x \ge 0\)

\((2-x)x = 0\)

\(2 - x = 0\)    или   \(x = 0\)

\(x = 2\)

Ответ: \(x\in(0;2]\).

г) \(\dfrac{3-2x}{x-1}\le0\)

\(\begin{cases} (3-2x)(x-1) \le 0, \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (3-2x)(x-1) \le 0, \\ x \ne 1 \end{cases}\)

\((3-2x)(x-1) \le 0\)

\((3-2x)(x-1) = 0\)

\(3 - 2x = 0\)   или   \(x - 1 = 0\)

\(-2x = -3\)             \(x = 1\)

\(x = \frac{-3}{-2}\)

\(x = 1,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty;1)\cup\left[1,5;+\infty\right).\)

д) \(\dfrac{7x-2}{1-x}\ge0\)

\(\begin{cases} (7x - 2)(1-x) \ge 0, \\ 1-x \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (7x - 2)(1-x) \ge 0, \\ x \ne 1 \end{cases}\)

\((7x - 2)(1-x) \ge 0\)

\((7x - 2)(1-x) = 0\)

\(7x - 2 = 0\)   или   \(1 - x = 0\)

\(7x = 2\)                    \(x = 1\)

\(x = \frac27\)

Ответ: \(x\in\left[\dfrac{2}{7};1\right).\)

е) \(\dfrac{1-11x}{2x-3}\le0\)

\(\begin{cases} (1-11x)(2x-3) \le 0, \\ 2x-3 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (1-11x)(2x-3) \le 0, \\ 2x \ne 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (1-11x)(2x-3) \le 0, \\ x \ne \frac32 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (1-11x)(2x-3) \le 0, \\ x \ne 1,5 \end{cases}\)

\((1-11x)(2x-3) \le 0\)

\((1-11x)(2x-3) = 0\)

\(1 - 11x = 0\)   или   \(2x - 3 = 0\)

\(11x = 1\)                   \(2x = 3\)

\(x = \frac{1}{11}\)                    \(x = 1,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty;\tfrac1{11}]\cup\left(1,5;+\infty\right).\)

Пояснения:

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} \le 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} \ge 0\) равносильны системам:

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \le 0, \\ x - b \ne 0;\end{cases}\) и

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \ge 0, \\ x - b \ne 0.\end{cases}\)

При решении неравенств вида \((x-a)(x-b)\dots\) используют метод интервалов.

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Обратите внимание, значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю, всегда обозначается "выколотой" (незакрашенной) точкой, независимо от знака неравенства, так как функция в этой точке не существует.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \( \frac{5a + 7 - 28a^{2}}{20a} = a^{2}\)   \(/\times20a\)

ОДЗ: \(a \neq 0\).

\( 5a + 7 - 28a^{2} = 20a^{3}\)

\( 20a^{3} + 28a^{2} - 5a - 7 = 0\)

\( 4a^{2}(5a + 7) - 1(5a + 7) = 0\)

\( (5a+7)(4a^{2}-1)=0\)

\((5a+7)(2a-1)(2a+1)=0. \)

или \( 5a+7=0\)

      \(5a = -7\)

      \(a=-\frac{7}{5} = -1,4\)

или \( 2a-1=0 \)

       \(2a = 1\)

        \(a=\frac{1}{2} = 0,5, \)

или \( 2a+1=0 \)

        \(2a = -1\)

        \(a=-\frac{1}{2} = -0,5. \)

Ответ: \(a=-1,4,\; a=0,5,\)

\(a=-0,5.\)

б) \( \frac{2-18a^{2}-a}{3a} = -3a^{2}\)   \(/\times3a\)

ОДЗ: \(a \neq 0\).

\[ 2 - 18a^{2} - a = -9a^{3}. \]

\[ 9a^{3} - 18a^{2} - a + 2 = 0. \]

\[ 9a^{2}(a - 2) - 1(a - 2)=0, \] \[ (a-2)(9a^{2}-1)=0. \]

\[ (a-2)(3a-1)(3a+1)=0. \]

или \( a-2=0 \)

       \(a=2, \)

или \( 3a-1=0 \)

       \(3a = 1\)

        \(a=\frac{1}{3}, \)

или \( 3a+1=0 \)

        \(3a = -1\)

        \(a=-\frac{1}{3}. \)

Ответ: \(a=2,\; a=\dfrac13,\; a=-\dfrac13.\)

Пояснения:

1. В пункте (а) мы приравниваем два выражения. После умножения на знаменатель получается кубическое уравнение, которое решается методом разложения на множители способом группировки. Каждый множитель приравнивается нулю.

2. В пункте (б) фраза «являются противоположными числами» означает: одно равно минусу другого, то есть \[ A = -B. \] Далее решение аналогично пункту а): умножение на знаменатель, группировка и разложение на множители.

3. Обязательно указываем ОДЗ: знаменатель не должен обращаться в ноль (поэтому \(a \neq 0\)).