Упражнение 293 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{(2x + 5)(x - 17)}\)

\((2x + 5)(x - 17) \ge 0\)

\((2x + 5)(x - 17) = 0\)

\(2x + 5 = 0 \)   или   \(x - 17 = 0\)

\(2x = -5\)                 \( x = 17\)

\(x = -\dfrac{5}{2}\)

\(x =-2,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2,5] \cup [17; +\infty)\).

б) \(\sqrt{x(x + 9)(2x - 8)}\)

\(x(x + 9)(2x - 8) \ge 0\)

\(x(x + 9)(2x - 8) = 0\)

или \(x = 0\)

или \(x + 9 = 0\)

       \(x = -9\)

или \(2x - 8 = 0\)

       \(2x = 8\)

        \(x = \frac82\)

        \(x = 4\)

Ответ: \(x \in [-9; 0] \cup [4; +\infty)\).

Пояснения:

Подкоренное выражение \(\sqrt{A(x)}\) определено тогда и только тогда, когда \(A(x) \ge 0\).

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «≥0» — берем интервалы со знаком "+" и включаем корни.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(\dfrac{1}{x-7} ^{\color{blue}{\backslash x-1}} -\dfrac{1}{x-1} ^{\color{blue}{\backslash x-7}} =\dfrac{1}{x-10}^{\color{blue}{\backslash x-9}}- \dfrac{1}{x-9} ^{\color{blue}{\backslash x - 10}} \)

ОДЗ:

\(x - 7 \ne 0, \Rightarrow x\neq 7;\)

\(x - 1 \ne0, \Rightarrow x\neq 1;\)

\(x - 10 \ne 0, \Rightarrow  x\neq 10;\)

\(x - 9 \ne 0, \Rightarrow x\neq 9. \)

\(\dfrac{(x-1)-(x-7)}{(x-7)(x-1)} =\dfrac{(x-9)-(x-10)}{(x-10)(x-9)} \)

\(\dfrac{\cancel x-1-\cancel x+7}{(x-7)(x-1)} =\dfrac{\cancel x-9-\cancel x+10}{(x-10)(x-9)} \)

\(\dfrac{6}{(x-7)(x-1)} =\dfrac{1}{(x-10)(x-9)} \)

\(6(x-10)(x-9) = (x - 7)(x-1)\)

\(6(x^2 -9x - 10x + 90) = x^2 -x-7x+7\)

\(6(x^2 -19x + 90) = x^2 -8x+7\)

\(6x^2 - 114x + 540 - x^2 + 8x - 7 =0\)

\(5x^2-106x+533 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -106\),  \(c = 533\)

\( D = b^2 - 4ac=\)

\(=106^{2}-4\cdot5\cdot533=\)

\(=11236 - 10660=576 >0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 24\).

\(x_{1} = \frac{106 + 24}{2\cdot5} =\frac{130}{10} = 13.\)

\(x_{2} = \frac{106 - 24}{2\cdot5} =\frac{82}{10} = 8,2.\)

Ответ: \(x=13,\; x=8,2.\)

б) \(\dfrac{1}{x+3}^{\color{blue}{\backslash x+9}} -\dfrac{1}{x+9}^{\color{blue}{\backslash x+3}} =\dfrac{1}{x+5}^{\color{blue}{\backslash x+21}} -\dfrac{1}{x+21}^{\color{blue}{\backslash x+5}} \)

ОДЗ:

\(x + 3 \ne 0, \Rightarrow x\neq -3;\)

\(x + 9 \ne0, \Rightarrow x\neq -9;\)

\(x + 5 \ne 0, \Rightarrow  x\neq -5;\)

\(x + 21 \ne 0, \Rightarrow x\neq -21. \)

\(\dfrac{(x +9) - (x + 3)}{(x+3)(x+9)}=\dfrac{(x+21)-(x+5)}{(x+5)(x+21)}\)

\(\dfrac{\cancel x +9 - \cancel x - 3}{(x+3)(x+9)}=\dfrac{\cancel x+21-\cancel x-5}{(x+5)(x+21)}\)

\(\dfrac{6}{(x+3)(x+9)}=\dfrac{16}{(x+5)(x+21)}\)

\(6(x+5)(x+21) = 16(x+3)(x+9)\)   \(/ :2\)

\(3(x+5)(x+21) = 8(x+3)(x+9)\)

\(3(x^2 + 21x + 5x +105) = 8(x^2 + 9x + 3x + 27)\)

\(3(x^2 + 26x +105) = 8(x^2 + 12x + 27)\)

\(3x^2 + 78x +315 = 8x^2 + 96x + 216\)

\(-5x^2 - 18x + 99=0\)  \(/\times (-1)\)

\(5x^2 + 18x - 99=0\)

\(a = 5\),  \(b = 18\),  \(c = -99\)

\( D = b^2-4ac=\)

\(=18^{2}-4\cdot5\cdot(-99)=\)

\(=324+1980=2304>0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 48\).

\(x_{1} = \frac{-18 + 48}{2\cdot5} =\frac{30}{10} = 3.\)

\(x_{2} = \frac{-18 - 48}{2\cdot5} =\frac{-66}{10} = -6,6.\)

Ответ: \(x=3,\; x=-6,6.\)

Пояснения:

При решении уравнений с дробями сначала указываем область допустимых значений (значения, при которых знаменатели не равны нулю).

Уравнения имеют вид разности двух дробей, равной разности двух других дробей. Удобно сначала привести каждую сторону к общему знаменателю. В результате каждая сторона превращается в одну дробь, у которой числитель не содержит переменных, то есть получается пропорция. Далее используем основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Выполнив преобразования получаем квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Найденные корни проверяются на принадлежность ОДЗ, если корни совпадают с ОДЗ, их в ответ не записываем.