Упражнение 290 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(5(x - 13)(x + 24) < 0\)   \(/ : 5\)

\((x - 13)(x + 24) < 0\) 

\((x - 13)(x + 24) = 0\) 

\(x - 13 = 0\)   или   \(x + 24 = 0\)

\(x = 13\)                   \(x = -24\)

Ответ: \(x \in (-24; 13) \).

б) \(-\left(x + \dfrac{1}{7}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) \ge 0\) \(/\times (-1)\)

\(\left(x + \dfrac{1}{7}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) \le 0\)

\(\left(x + \dfrac{1}{7}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) = 0\)

\(x + \dfrac{1}{7} = 0\)   или   \(x + \dfrac{1}{3} = 0\)

\(x =-\dfrac{1}{7}\)                \(x=-\dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(x \in \left[-\dfrac{1}{3}; -\dfrac{1}{7}\right] \).

в) \((x + 12)(3 - x) > 0\)

\((x + 12)(3 - x) = 0\)

\(x + 12 = 0\)   или   \(3 - x = 0\)

\(x = -12\)                \(x = 3\)

Ответ: \(x \in (-12; 3) \).

г) \((6 + x)(3x - 1) \le 0\)

\((6 + x)(3x - 1) = 0\)

\(6 + x = 0\)   или   \(3x - 1 = 0\)

\(x = -6\)                \(3x = 1\)

                              \(x = \dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(x \in \left[-6; -\dfrac{1}{3}\right] \).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Также помним свойства неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Если \(a < b\) и \(c\) - отрицательное число, то \(ac > bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

а) \(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{10}{x+3}=\dfrac{50}{x^{2}+x-6}-1\)

\(x^{2}+x-6 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = \)

\(=1 + 24 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 5\).

\(x_{1} = \frac{-1 + 5}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2.\)

\(x_{2} = \frac{-1 - 5}{2\cdot1} =\frac{-6}{2} = -3.\)

\(x^{2}+x-6 = (x - 2)(x + 3)\)

\(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{10}{x+3}=\dfrac{50}{(x-2)(x+3)}-1\) \(/\times(x-2)(x+3)\)

ОДЗ: \(x - 2 \neq 0\)  и  \( x + 3 \neq 0\)

         \(x\neq 2\)              \( x\neq -3\)

\(2(x+3)-10(x-2)=50-(x-2)(x+3)\)

\(2x + 6 -10x+20= 50 - x^2 - x + 6 \)

\(-8x + 26= -x^2 - x + 56 \)

\(-8x + 26 + x^2 + x - 56 = 0\)

\(x^2 - 7x - 30 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = -30\)

\(D = (-7)^2 - 4\cdot1\cdot (-30) =\)

\( =49 + 120 = 169 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 13\).

\(x_{1} = \frac{7 + 13}{2\cdot1} =\frac{20}{2} = 10.\)

\(x_{2} = \frac{7 - 13}{2\cdot1} =\frac{-6}{2} = -3\) - не является корнем.

Ответ: \(x=10.\)

б) \(\dfrac{x+5}{x-1}+\dfrac{2x-5}{x-7}-\dfrac{30-12x}{8x-x^{2}-7}=0.\)

\(8x-x^{2}-7 = 0\)  \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 8x + 7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = 7\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-8)^2 - 4 \cdot 1\cdot 7 =\)

\(= 64 - 28 = 36 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 6\).

\(x_{1} = \frac{8 + 6}{2\cdot1} =\frac{14}{2} = 7.\)

\(x_{2} = \frac{8 - 6}{2\cdot1} =\frac{2}{2} = 1.\)

\(8x-x^{2}-7 = -(x - 7)(x - 1)\)

\( \dfrac{x+5}{x-1}+\dfrac{2x-5}{x-7} +\dfrac{30-12x}{(x-1)(x-7)}=0\) \(/\times(x-1)(x-7)\)

ОДЗ: \(x - 1 \neq 0\)  и  \( x - 7 \neq 0\)

         \(x\neq 1\)              \( x\neq 7\).

\((x+5)(x-7)+(2x-5)(x-1)+30-12x = 0\)

\(x^2 -7x + 5x - 35 + 2x^2 - 2x - 5x + 5 + 30 - 12x = 0\)

\(3x^2 - 21x = 0\)

\(3x(x - 7) = 0\)

или  \(3x = 0\)

        \(x = 0;\) 

или  \(x - 7 = 0\)

        \(x = 7\) - не является корнем.

Ответ: \(x=0.\)

Пояснения:

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, в каждом пункте трехчлен, стоящий в знаменателе разложили на множители по формуле:

\(x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена.

На каждом шаге важно проверять найденные значения на принадлежность области допустимых значений, чтобы не получить решения, при которых хотя бы один знаменатель равен нулю.