Упражнение 127 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} y=0,01x^2 \\ y=10x \end{cases}\) 

\[ 0{,}01x^{2} = 10x\]

\[ 0{,}01x^{2} - 10x = 0. \]

\[ x(0{,}01x - 10) = 0 \]

\( x = 0 \)   или   \( 0{,}01x - 10 = 0 \)

                       \(0{,}01x = 10\)

                       \(x = 10:0{,}01\)

                       \( x = 1000\)

При \(x = 1000\):

\( y = 10x = 10\cdot1000 = 10000\)

Итак, имеем две общие точки:

1) \(O(0;\,0)\) — очевидная;
2) \(A(1000;\, 10000)\).

Ответ: графики имеют ещё одну общую точку: \((1000;\, 10000)\).

Пояснения:

— График \(y = 0,01x^{2}\) — парабола, ветви направлены вверх, «очень широкая», так как коэффициент 0.01 маленький.

— График \(y = 10x\) — прямая, проходящая через начало координат, достаточно крутая.

Когда мы решаем уравнение \[ 0{,}01x^{2} = 10x, \] мы ищем все \(x\), при которых значения функций равны, а значит точки с одинаковыми координатами лежат одновременно на двух графиках.

Первое решение — \(x = 0\) — даёт точку пересечения в начале координат. Второе решение — \(x = 1000\) — подтверждает, что парабола и прямая пересекаются ещё один раз в дальней части координатной плоскости.

а) \( y = (x - 2)(x + 4) \)

\( y = x^2 + 4x - 2x - 8 \)

\(y= x^2 + 2x - 8\)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (\(a=1>0\)).

2.  \(m=-\frac{b}{2a}= -\frac{2}{2\cdot1} = -1\)

\(n = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = -9.\)

Вершина параболы: \((-1; -9).\) Прямая \(x=-1\) - ось симметрии параболы. 

3. Нули функции:

\((x - 2)(x + 4)=0\)

\(x - 2 = 0\) или  \(x + 4 = 0\)

\(x=2\)                 \(x=-4.\)

\((-4; 0)\) и \((2; 0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y:\)

\(x=0:\) \( y = (0 - 2)(0 + 4)=-8.\)

\((0; -8).\)

б) \( y = -x(x + 5) \)

\( y = -x^2 - 5x \)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз (\(a=-1<0\)).

2. \(m=-\frac{b}{2a}= -\frac{-5}{2(-1)}= -2,5, \)

\( n= -(-2{,}5)^2 - 5(-2{,}5) =\)

\(= -6{,}25 + 12{,}5 = 6{,}25. \)

Вершина параболы: \((-2,5; 6,25)\). Прямая \(x=-2,5\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции:

\(-x(x + 5)=0\)

\(x=0\) или \(x+5=0\)

                   \(x=-5.\)

\((0; 0)\) и \((-5; 0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y:\) \((0; 0).\)

Пояснения:

Каждая функция сводится к параболе вида \[ y = ax^2 + bx + c. \]

1. Формула вершины параболы \((m; n)\):

\[ m = -\frac{b}{2a},\qquad n = f(m). \]

Это справедливо для любой функции вида \[ y = ax^2 + bx + c. \]

2. Ось симметрии

Ось симметрии — вертикальная прямая: \( x = m\).

3. Направление ветвей

• если \(a > 0\) — ветви вверх;

• если \(a < 0\) — ветви вниз.