Упражнение 123 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а)\(y = 0{,}2x^{2}\).

Свойства:

1. \(D =(-\infty; +\infty)  \)

2. \(E =[0; +\infty)\)

3. \(y=0\) при \(x=0\)

4. \(y>0\) при \(x\ne0\)

5. Функция возрастает на \([0; +\infty)\)  и убывает на \((-\infty; 0]\)

6.  Наименьшее значение функции равно нулю при \(x=0.\)

3. Функция чётная, так как:

\( (-x)^2 = x^2. \)

б) \(y = -10x^{2}\).

Свойства:

1. \(D =(-\infty; +\infty)  \)

2. \(E =(-\infty; 0]  \)

3. \(y=0\) при \(x=0\)

4. \(y<0\) при \(x\ne0\)

5. Функция возрастает на \((-\infty; 0]\) и убывает на \([0; +\infty)  \)

6.  Наибольшее значение функции равно нулю при \(x=0. \)

3. Функция чётная, так как:

\( (-x)^2 = x^2. \)

Пояснения:

Квадратичная функция имеет общий вид \(y = ax^{2}\). Если \(a>0\), то ветви параболы направлены вверх; если \(a<0\), ветви параболы направлены вниз. Вершина всегда в точке \(x=0\), если нет других слагаемых. Чётность гарантирует симметрию относительно оси \(y\).

а) Это парабола, ветви направлены вверх, коэффициент \(0,2 > 0\). Парабола «шире» стандартной, т.к. коэффициент меньше 1.

б) Это парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент \(-10 < 0\). Парабола «очень крутая», так как модуль коэффициента много больше 1.

Знак \(a\) определяет область значений:

\( a>0 \Rightarrow y\ge0, \quad a<0 \Rightarrow y\le0. \)

\( y = 2x^2 + 8x + 2\)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх \((a=2>0).\)

2. \( m= -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2\cdot 2} = -2. \)

\( n = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 =\)

\(=8 - 16 + 2 = -6. \)

Вершина параболы: \((-2,\,-6)\). Прямая \(x=-2\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции: 

\(2x^2 + 8x + 2=0\)

\(D=b^2-4ac=8^2-4\cdot2\cdot2=\)

\(=64-16=48,\) \(\sqrt{D}=4\sqrt{3}.\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{-8+4\sqrt{3}}{2\cdot2}=-2+\sqrt{3}\approx-0,3\)

\(x_{2}=\frac{-8-4\sqrt{3}}{2\cdot2}=-2-\sqrt{3}\approx-3,7\)

\((-0,3; 0)\) и \((-2,7; 0)\) - точки пересечения параболы с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y\): 

\(x=0\): \( y = 2\cdot0^2 + 8\cdot0 + 2=2\)

\((0;2)\)

а) Значения функции в точках

При \(x = -2{,}3\)  \( y\approx -5{,}8. \)

При \(x =-0{,}5\)  \( y= -1{,}5.\)

При \(x =1{,}2\)  \( y\approx 14{,}5. \)

б) \(y=-4\) при \( x = -1\) и \( x = -3.\)

\(y=-1\) при \( x\approx -3,6\) и \( x \approx -0,4.\)

\(y=1{,}7\)  при \( x\approx-0,1\) и \( x \approx-3,9.\)

в) \(y=0\) при \( x=-3,7\) и \( x=-0,3.\)

 \(y>0\) при \(x\in(-\infty; -3,7)\cup(-0,3; +\infty)\)

\(y<0\) при \(x\in(-3,7; -0,3)\)

г) Функция убывает на \((-\infty,\,-2]\).

Функция возрастает на \([-2,\,+\infty)\).

\( y_{\min} = -6\) при \(x=-2.\)

Пояснения:

1. Формула вершины параболы \((m; n)\):

\[ m = -\frac{b}{2a},\qquad n = f(m). \]

Это справедливо для любой функции вида \[ y = ax^2 + bx + c. \]

2. Ось симметрии

Ось симметрии — вертикальная прямая: \( x = m\).

3. Направление ветвей

• если \(a > 0\) — ветви вверх;

• если \(a < 0\) — ветви вниз.