Упражнение 124 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 48

\(y=2x^2\)

а)  \( \begin{cases} y=2x^2 \\ y=50 \end{cases}\)  

\[ 2x^{2} = 50\]

\[ x^{2} = 25\]

\[x_1 = 5; x_2=-5. \]

Ответ: пересекаются в точках \((5; 50)\) и \((-5; 50)\).

б) \( \begin{cases} y=2x^2 \\ y=100 \end{cases}\)  

\[ 2x^{2} = 100 \]

\[ x^{2} = 100:2 \]

\( x^{2} = 50\)

\( x_1 =\sqrt{50}; x_2 =-\sqrt{50}\)

\( x_1 =5\sqrt{2}; x_2 =-5\sqrt{2}\).

Ответ: пересекаются в точках \((5\sqrt{2}; 100)\) и \((-5\sqrt{2}; 100)\).

в) \( \begin{cases} y=2x^2 \\ y=-8 \end{cases}\)  

\[ 2x^{2} = -8. \]

\[ x^{2} = -4 \]

Квадрат числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: не пересекаются.

г) \( \begin{cases} y=2x^2 \\ y=14x - 20 \end{cases}\)   

\[ 2x^{2} = 14x - 20 \]

\( 2x^{2} - 14x + 20 = 0 \)    \(\color{red}:2\)

\[ x^{2} - 7x + 10 = 0. \]

\( D =b^2-4ac= (-7)^{2} - 4\cdot 1\cdot 10 =\)

\(=49 - 40 = 9, \) \(\sqrt{D}=3.\)

\[ x _{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

\[ x_{1} = \frac{7 + 3}{2} = 5\]

\[ x_{2} = \frac{7 -3}{2}=2.\]

\(y_1=14x - 20=14\cdot5-20=50.\)

\(y_2=14x - 20=14\cdot2-20=8.\)

Ответ: пересекаются в точках \((5; 50)\) и \((2; 8)\).

Пояснения:

Пересечение графиков функций происходит тогда, когда система \[ \begin{cases} y=2x^2 \\ y = f(x) \end{cases}\]  имеет решения, то есть уравнение \(2x^{2} = f(x) \) имеет хотя бы один корень.

— Если получаем квадратное уравнение с положительным дискриминантом или просто положительным значением \(x^{2}\), то уравнение имеет решение, а следовательно, прямая пересекается с параболой.

— Если \(x^{2}\) равен отрицательному числу, то уравнение не имеет корней, следовательно, прямая и парабола не пересекаются.

а) \( y=\frac13 x^2 - 4x + 4. \)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направленны вверх \((a=\frac13>0).\)

2. \( m=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot\frac13}=\frac{4}{\frac23}=6. \)

\(n=\frac13\cdot 6^2 - 4\cdot6 + 4 =\)

\(=12 - 24 + 4 = -8. \)

Вершина параболы: \((6;\,-8)\). Прямая \(x=6\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции:

 \(\frac13 x^2 - 4x + 4=0 \)      \(|\times3\)

 \(x^2 - 12x + 12=0 \)

\(D=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot1 \cdot12=\)

\(=144-48=96,\) \(\sqrt{D}=4\sqrt{6}.\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{12+4\sqrt{6}}{2\cdot1}=6+2\sqrt{6}\approx10,9\)

\(x_{1}=\frac{12-4\sqrt{6}}{2\cdot1}=6-2\sqrt{6}\approx1,1\)

\((10,9; 0)\) и \((1,1; 0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y\):

\(x=0\): \( y=\frac13\cdot 0^2 - 4\cdot0 + 4=4. \)

\((0; 4)\).

Свойства:

1. \(D =(-\infty; +\infty)  \)

2. \(E =[-8; +\infty)\)

3. \(y=0\) при \(x=1,1\) и \(x=10,9\)

4. \(y>0\) при \(x\in(-\infty; 1,1)\cup(10,9;+\infty) \)

\(y<0\) при \(x\in(1,1; 10,9)\)

5. Функция возрастает на \([6; +\infty)\)  и убывает на \((-\infty; 6]\)

6.  Наименьшее значение функции равно \(-8\) при \(x=6\)

7. Функция не является чётная и нечетной. Ось симметрии: \(x=6\).

б) \( y=-\frac14 x^2 + x - 1. \)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз \(\left(a=-\frac{1}{4}<0\right).\)

2. \(m=-\frac{1}{2\cdot(-\frac14)}=\!2,\)

\( n=-\frac14\cdot 2^2 + 2 - 1 =\)

\(= -1 + 2 - 1 = 0. \)

Вершина параболы: \((2;\,0)\). Прямая \(x=2\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции:

\(-\frac14 x^2 + x - 1=0 \) \(|\times(-4)\)

\(x^2 -4x +4=0 \)

\((x-2)^2=0\)

\(x-2=0\)

\(x=2.\)

\((2; 0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y\):

\(x=0\): \( y=-\frac14\cdot0^2 + 0 - 1=-1.\)

\((0; -1)\).

Свойства:

1. \(D =(-\infty; +\infty)  \)

2. \(E =(-\infty; 0]\)

3. \(y=0\) при \(x=2\)

4. \(y<0\) при \(x\ne2\)

5. Функция возрастает на \((-\infty; 2]\)  и убывает на \([2; +\infty)\)

6.  Наибольшее значение функции равно \(0\) при \(x=2\)

7. Функция не является чётная и нечетной. Ось симметрии: \(x=2\).

в) \( y=x^2+3x\)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх \((a=1>0)\).

2. \( m=-\frac{3}{2\cdot1}=-\frac32=-1,5\),

\( n=(-1,5)^2 + 3(-1,5) =\)

\(=2,25 - 4,5 = -2,25\)

Вершина параболы: \((-1,5;\,-2,25)\). Прямая \(x=-1,5\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции:

\(x^2+3x=0\)

\(x(x+3)=0\)

\(x=0\) или \(x+3=0\)

                   \(x=-3\).

\((0; 0)\) и \((-3; 0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

4. Точка пересечения с осью \(y\): \((0; 0)\).

Свойства:

1. \(D =(-\infty; +\infty)  \)

2. \(E =[-2,25; +\infty)\)

3. \(y=0\) при \(x=-3\) и \(x=0\)

4. \(y>0\) при \(x\in(-\infty; -3)\cup(0;+\infty) \)

\(y<0\) при \(x\in(-3; 0)\)

5. Функция возрастает на \([-1,5; +\infty)\)  и убывает на \((-\infty; -1,5]\)

6.  Наименьшее значение функции равно \(-2,25\) при \(x=-1,5\)

7. Функция не является чётная и нечетной. Ось симметрии: \(x=-1,5\).

Пояснения:

1. Формула вершины параболы \((m; n)\):

\[ m = -\frac{b}{2a},\qquad n = f(m). \]

Это справедливо для любой функции вида \[ y = ax^2 + bx + c. \]

2. Ось симметрии

Ось симметрии — вертикальная прямая: \( x = m\).

3. Направление ветвей

• если \(a > 0\) — ветви вверх;

• если \(a < 0\) — ветви вниз.

Основные свойства функций:

1. Область определения \(D(f)\).

2. Множество значений \(E(f)\).

3. Нули функции - значения аргумента (\(x\)), при которых функция (\(y\)) обращается в нуль.

4. Промежутки знакопостоянства - промежутки, на которых функция сохраняет знак (на промежутках, расположенных выше оси \(x\) функция принимает положительные значения, на промежутках, расположенных ниже оси \(x\) функция принимает отрицательные значения).

5. Промежутки монотонности функции - промежутки возрастания и убывания функции. Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то - убывающей функцией.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции, если существуют.

7. Четность/нечетность функции.

Функция называется четной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно оси ординат (оси \(y\));

- противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Функция называется нечетной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно начала координат;

- противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.