Вернуться к содержанию учебника
Пересекаются ли парабола \(y = 2x^{2}\) и прямая:
а) \(y = 50\);
б) \(y = 100\);
в) \(y = -8\);
г) \(y = 14x - 20\)?
Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
\(y=2x^2\)
а) \( \begin{cases} y=2x^2 \\ y=50 \end{cases}\)
\[ 2x^{2} = 50\]
\[ x^{2} = 25\]
\[x_1 = 5; x_2=-5. \]
Ответ: пересекаются в точках \((5; 50)\) и \((-5; 50)\).
б) \( \begin{cases} y=2x^2 \\ y=100 \end{cases}\)
\[ 2x^{2} = 100 \]
\[ x^{2} = 100:2 \]
\( x^{2} = 50\)
\( x_1 =\sqrt{50}; x_2 =-\sqrt{50}\)
\( x_1 =5\sqrt{2}; x_2 =-5\sqrt{2}\).
Ответ: пересекаются в точках \((5\sqrt{2}; 100)\) и \((-5\sqrt{2}; 100)\).
в) \( \begin{cases} y=2x^2 \\ y=-8 \end{cases}\)
\[ 2x^{2} = -8. \]
\[ x^{2} = -4 \]
Квадрат числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: не пересекаются.
г) \( \begin{cases} y=2x^2 \\ y=14x - 20 \end{cases}\)
\[ 2x^{2} = 14x - 20 \]
\( 2x^{2} - 14x + 20 = 0 \) \(\color{red}:2\)
\[ x^{2} - 7x + 10 = 0. \]
\( D =b^2-4ac= (-7)^{2} - 4\cdot 1\cdot 10 =\)
\(=49 - 40 = 9, \) \(\sqrt{D}=3.\)
\[ x _{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
\[ x_{1} = \frac{7 + 3}{2} = 5\]
\[ x_{2} = \frac{7 -3}{2}=2.\]
\(y_1=14x - 20=14\cdot5-20=50.\)
\(y_2=14x - 20=14\cdot2-20=8.\)
Ответ: пересекаются в точках \((5; 50)\) и \((2; 8)\).
Пояснения:
Пересечение графиков функций происходит тогда, когда система \[ \begin{cases} y=2x^2 \\ y = f(x) \end{cases}\] имеет решения, то есть уравнение \(2x^{2} = f(x) \) имеет хотя бы один корень.
— Если получаем квадратное уравнение с положительным дискриминантом или просто положительным значением \(x^{2}\), то уравнение имеет решение, а следовательно, прямая пересекается с параболой.
— Если \(x^{2}\) равен отрицательному числу, то уравнение не имеет корней, следовательно, прямая и парабола не пересекаются.
Вернуться к содержанию учебника