Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№830 учебника 2023-2026 (стр. 207):
Вычислите координаты точек пересечения графиков функций:
а) \(y=2x-11\) и \(y=-5x+3\);
б) \(y=-3x-10\) и \(y=x^2-13x+6\);
в) \(y=-3x^2+x-3\) и \(y=-x^2+x-5\);
г) \(y=4x^2+3x+6\) и \(y=3x^2-3x-3\).
№830 учебника 2014-2022 (стр. 215):
В вазе 11 гвоздик, из которых 4 красные. В темноте наугад вынимают 3 гвоздики. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет красной?
№830 учебника 2023-2026 (стр. 207):
Вспомните:
№830 учебника 2014-2022 (стр. 215):
№830 учебника 2023-2026 (стр. 207):
а) \(y=2x-11\) и \(y=-5x+3\)
1) \(2x-11=-5x+3\)
\(2x+5x=3+11\)
\(7x=14\)
\(x = \frac{14}{7}\)
\(x=2\)
2) \(y=2\cdot2-11=4-11=-7\)
Ответ: графики пересекаются в точке \((2;-7)\).
б) \(y=-3x-10\) и \(y=x^2-13x+6\)
1) \(-3x-10=x^2-13x+6\)
\(-3x-10-x^2+13x-6=0\)
\(-x^2+10x-16=0\) \(/\times(-1)\)
\(x^2-10x+16=0\)
\(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 16\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=(-10)^2-4\cdot1\cdot16=\)
\(=100-64=36 > 0\) - два действительных корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a} \), \(\sqrt {36} = 6\)
\(x_1=\dfrac{10+6}{2} =\dfrac{16}{2}=8 \)
\(x_2=\dfrac{10-6}{2} =\dfrac{4}{2}=2 \)
2) Если \(x = 8\), то
\(y=-3\cdot8-10=-24-10=-34\)
Если \(x = 2\), то
\(y=-3\cdot2-10=-6-10=-16\)
Ответ: графики пересекаются в точках \((8;-34)\), \((2;-16)\).
в) \(y=-3x^2+x-3\) и
\(y=-x^2+x-5\)
1) \(-3x^2+x-3=-x^2+x-5\)
\(-3x^2+\cancel x-3+x^2-\cancel x+5 = 0\)
\(-2x^2+2 = 0\)
\(-2x^2 = -2\)
\(x^2=\frac{-2}{-2}\)
\(x^2=1\)
\(x = \pm\sqrt1\)
\(x=\pm1\)
2) Если \(x = 1\), то
\(y=-3\cdot1^2+1-3=-5\)
Если \(x = 1\), то
\(y=-3\cdot(-1)^2-1-3=-7\)
Ответ: графики пересекаются в точках \((1;-5)\), \((-1;-7)\).
г) \(y=4x^2+3x+6\) и
\(y=3x^2-3x-3\)
1) \(4x^2+3x+6=3x^2-3x-3\)
\(4x^2+3x+6-3x^2+3x+3=0\)
\(x^2+6x+9=0\)
\((x+3)^2=0\)
\(x + 3 = 0\)
\(x=-3\)
2) \(y=4\cdot9+3\cdot(-3)+6=\)
\(=36-9+6=33\)
Ответ: графики пересекаются в точке \((-3;33)\).
Пояснения:
Общий способ.
Чтобы найти точки пересечения графиков, нужно приравнять правые части уравнений (так как в точке пересечения значения \(y\) совпадают) и решить полученное уравнение относительно \(x\). Затем найденные значения \(x\) подставить в любую из функций для нахождения \(y\).
№830 учебника 2014-2022 (стр. 215):
Всего - \(11\) гвоздик.
Красных - \(4\) шт.
Пусть \(А\) - событие, при котором вытащили 3 гвоздики и хотя бы одна из них красная.
\(\overline{A}\) - событие, при котором вытащили 3 гвоздики и ни одна из них не красная.
\(C_7^3 = \frac{7!}{3!(7 - 3)!} =\frac{7!}{3!\cdot4!}= \)
\(=\frac{\cancel{4!}\cdot5\cdot\cancel6\cdot7}{1\cdot\cancel2\cdot\cancel3\cdot\cancel{4!}}=5\cdot7=35 \) - вариантов события \(\overline{A}\).
\(C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11 - 3)!} =\frac{11!}{3!\cdot8!}= \)
\(=\frac{\cancel{8!}\cdot\cancel9 ^{\color{blue}{3}} \cdot\cancel{10} ^{\color{blue}{5}}\cdot11}{1\cdot\cancel2\cdot\cancel3\cdot\cancel{8!}}=\)
\(=3\cdot5\cdot11=165 \) - всего вариантов достать 3 гвоздики.
\(P(\overline{A}) = \frac{35}{165} = \frac{7}{33}\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)
\( P(A) = 1 - P(\overline{A}) \)
\(P(A) = 1 - \dfrac{7}{33} = \dfrac{26}{33} \)
Ответ: \(\dfrac{26}{33} \).
Пояснения:
Всего гвоздик: 11, из них 4 красные и 7 некрасные.
Ищем вероятность того, что хотя бы одна красная. Удобно использовать противоположное событие: ни одной красной (то есть все 3 — не красные).
Для определения возможных вариантов событий используем формулу вычисления числа сочетаний из \(n\) элементов по \(k\):
\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} .\]
Находим вероятность события \(\overline{A}\) противоположного событию \(A\):
\(P(\overline{A}) = \frac{35}{165} = \frac{7}{33}\).
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
\(P(A) + P(\overline{A}) = 1\),
откуда
\( P(A) = 1 - P(\overline{A}) \).
Значит, искомая вероятность (хотя бы одна гвоздика красная):
\(P(A) = 1 - \dfrac{7}{33} = \dfrac{26}{33} \).
Вернуться к содержанию учебника