Упражнение 834 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases}y=x^2-6x,\\ y-8x=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x^2-6x,\\ y=8x\end{cases}\)

\(x^2-6x=8x\)

\(x^2-6x-8x=0\)

\(x^2-14x=0\)

\(x(x-14)=0\)

\(x=0\)  или  \(x-14=0\)

                    \(x = 14\)

Если \(x = 0\), то

\(y=8\cdot0=0\).

Если \(x = 14\), то

\(y=8\cdot14=112\).

\((0;0)\), \((14;112)\) - точки пересечения параболы и прямой.

\(y=x^2-6x\) - парабола, ветви вверх, вершина в IV четверти.

\(y=8x\) - возрастающая прямая.

Пояснения:

1. Как находят точки пересечения.

Точки пересечения графиков находятся решением системы:

\(\begin{cases}y=x^2-6x,\\ y=8x.\end{cases}\)

В точке пересечения значения \(y\) одинаковые, поэтому приравниваем правые части.

2. Решение уравнения.

Получили \(x^2-14x=0\). Вынесли \(x\) за скобку и нашли два корня \(x=0\) и \(x=14\). Значит, графики пересекаются в двух точках.

3. Схематический рисунок.

Ветви параболы \(y=x^2-6x\) направлены вверх, она проходит через начало координат и имеет ещё один нуль при \(x=6\); вершина при \(x=3\) ниже оси \(Ox\). Прямая \(y=8x\) проходит через начало координат и резко возрастает. Поэтому они пересекаются в начале координат и ещё раз при большом \(x\), что соответствует точкам \((0;0)\) и \((14;112)\).

\(1, 2, 3, 5 \)

Числа больше \(2000\), но меньше \(5000\) будут начинаться с цифры \(2\) или с цифры \(3\).

\(P_3 = 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6\) - количество четырехзначных чисел, начинающихся с цифры 2, также как и количество цифр, начинающихся с цифры 3.

\( 6 + 6 = 12 \)

Ответ: \(12\) чисел.

Пояснения:

Числа составляются из цифр 1, 2, 3, 5 без повторений, значит каждая цифра используется ровно один раз.

Четырёхзначное число имеет вид:

\[ abcd \]

Число должно быть больше 2000 и меньше 5000. Это значит, что первая цифра (a) может быть только 2 или 3:

Если \( a = 2 \):

Оставшиеся цифры: 1, 3, 5. Их можно переставить:

\[ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \]

Если \( a = 3 \):

Оставшиеся цифры: 1, 2, 5. Их также можно переставить:

\[ 3! = 6 \]

Если \( a = 1 \), число меньше 2000 — не подходит.

Если \( a = 5 \), число больше 5000 — не подходит.

Складываем подходящие варианты:

\[ 6 + 6 = 12 \]

Таким образом, существует 12 таких чисел.