Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№597 учебника 2023-2026 (стр. 172):
Найдите знаменатель геометрической прогрессии \((c_n)\), если:
а) \(c_5 = -6,\ c_7 = -54\);
б) \(c_6 = 25,\ c_8 = 4\).
№597 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Является ли арифметической прогрессией последовательность \((a_n)\), заданная формулой:
а) \(a_n=3n+1\);
б) \(a_n=n^2-5\);
в) \(a_n=n+4\);
г) \(a_n=\dfrac{1}{n+4}\);
д) \(a_n=-0{,}5n+1\);
е) \(a_n=6n^2\).
Если последовательность - арифметическая прогрессия, найдите её первый член и разность.
№597 учебника 2023-2026 (стр. 172):
№597 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Вспомните:
№597 учебника 2023-2026 (стр. 172):
а) \(c_5 = -6,\ c_7 = -54\);
\(|c_6|=\sqrt{c_5\cdot c_7}=\sqrt{-6\cdot(-54)}=\)
\(=\sqrt{324}=18.\)
\(c_6=18\) или \(c_6=-18.\)
\(q=\frac{c_7}{c_6}\)
Тогда:
\(q=\frac{-54}{18}=-3\)
или
\(q=\frac{-54}{-18}=3.\)
Ответ: \(q =\pm3.\)
б) \(c_6 = 25,\ c_8 = 4\).
\(|c_7|=\sqrt{c_6\cdot c_8}=\sqrt{25\cdot4}=\)
\(=\sqrt{100}=10.\)
\(c_7=10\) или \(c_7=-10\)
\(q=\frac{c_7}{c_6}\)
Тогда:
\(q=\frac{10}{25}=0,4\)
или
\(q=\frac{-10}{25}=-0,4.\)
Ответ: \(q =\pm0,4.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:
\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)
Свойство геометрической прогрессии:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.
\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно, \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)
№597 учебника 2014-2022 (стр. 153):
а) \(a_n=3n+1\)
\(a_{n+1}-a_n=\)
\(=(3(n+1)+1)-(3n+1)=\)
\(=\cancel{3n}+3+\cancel1-\cancel{3n}-\cancel1=3\)
\(a_n\) - является арифметической прогрессией.
\(a_1=3\cdot1+1=4\)
\(d=3.\)
б) \(a_n=n^2-5\)
\(a_{n+1}-a_n=\)
\(=((n+1)^2-5)-(n^2-5)=\)
\(=\cancel{n^2}+2n+1-\cancel5-\cancel{n^2}+\cancel5=\)
\(=2n+1\) - зависит от \(n\).
\(a_n\) - не является арифметической прогрессией.
в) \(a_n=n+4\)
\(a_{n+1}-a_n=\)
\(=((n+1)+4)-(n+4)=\)
\(=\cancel n + 1 + \cancel4 - \cancel n -\cancel 4 =1\).
\(a_n\) - является арифметической прогрессией.
\(a_1=1+4=5\)
\(d=1.\)
г) \(a_n=\dfrac{1}{n+4}\)
\(a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n+5} ^{\color{blue}{\backslash n+4}} -\dfrac{1}{n+4} ^{\color{blue}{\backslash n+5}} =\)
\(=\dfrac{(n + 4) - (n + 5)}{(n+5)(n + 4)}=\)
\(=\dfrac{\cancel n + 4 - \cancel n + 5}{(n+5)(n + 4)}=\)
\(=\dfrac{9}{(n+5)(n + 4)}\) - зависит от \(n\).
\(a_n\) - не является арифметической прогрессией.
д) \(a_n=-0{,}5n+1\)
\(a_{n+1}-a_n=\)
\(=(-0{,}5(n+1)+1)-(-0{,}5n+1)=\)
\(=-\cancel{0{,}5n}-0,5+\cancel1+\cancel{0{,}5n}-\cancel1=-0{,}5.\)
\(a_n\) - является арифметической прогрессией.
\(a_1=-0{,}5\cdot1+1=0,5\)
\(d=-0,5.\)
е) \(a_n=6n^2\)
\(a_{n+1}-a_n=6(n+1)^2-6n^2=\)
\(=6(n^2 + 2n + 1) -6n^2=\)
\(=\cancel{6n^2} + 12n + 6 - \cancel{6n^2}=\)
\(=12n+6\) - зависит от \(n\).
\(a_n\) - не является арифметической прогрессией.
Пояснения:
Последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда разность двух соседних членов постоянна и не зависит от номера \(n\).
а), в), д) — линейные формулы вида \(a_n=an+b\). Для них разность \(a_{n+1}-a_n\) равна числу \(a\), поэтому такие последовательности всегда являются арифметическими.
б) и е) — формулы, содержащие квадрат \(n\). В этом случае разность соседних членов зависит от \(n\), поэтому последовательность не является арифметической.
г) — дробно-рациональная формула. Разность соседних членов меняется при изменении \(n\), следовательно, арифметической прогрессией такая последовательность не является.
Вернуться к содержанию учебника