Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№594 учебника 2023-2026 (стр. 172):
Найдите шестой и \(n\)-й члены геометрической прогрессии:
а) \(48;\ 12;\ \ldots\);
б) \(\dfrac{64}{9};\ -\dfrac{32}{3};\ \ldots\);
в) \(-0{,}001;\ -0{,}01;\ \ldots\);
г) \(-100;\ 10;\ \ldots\).
№594 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Найдите номера отрицательных членов арифметической прогрессии \(-20{,}3;\ -18{,}7;\ \ldots\). Чему равен первый положительный член этой прогрессии?
№594 учебника 2023-2026 (стр. 172):
Вспомните:
№594 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Вспомните:
№594 учебника 2023-2026 (стр. 172):
а) \(b_1 = 48,\ b_2 = 12\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{12}{48} = \dfrac14\).
\(b_6 =b_1q^{6-1}= 48\cdot\left(\dfrac14\right)^{6-1} =\)
\(= 48\cdot\left(\dfrac14\right)^5 = \dfrac{48}{1024} = \dfrac{3}{64}\).
\(b_n = 48\cdot\left(\dfrac14\right)^{n-1}\).
б) \(b_1 = \dfrac{64}{9},\ b_2 = -\dfrac{32}{3}\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \frac{-32}{3}:\frac{64}{9} =\)
\(=\frac{-32}{3}\cdot\frac{9}{64}=-\frac{\cancel{32}{\color{red}{^1}}\cdot\cancel9{\color{blue}{^3}}}{\cancel3_{\color{blue}{1}}\cdot\cancel{64}_{\color{red}{2}}}= -\dfrac{3}{2}\).
\(b_6 =b_1q^{6-1}= \dfrac{64}{9}\cdot\left(-\dfrac32\right)^{6-1} =\)
\(=\dfrac{64}{9}\cdot\left(-\dfrac32\right)^5 = \dfrac{64}{9}\cdot\left(-\dfrac{243}{32}\right)=\)
\(=-\frac{\cancel{64}{\color{red}{^2}}\cdot\cancel{243}{\color{blue}{^{27}}}}{\cancel9_{\color{blue}{1}}\cdot\cancel{{32}}_{\color{red}{1}}}= -54\).
\(b_n = \dfrac{64}{9}\cdot\left(-\dfrac32\right)^{n-1}\).
в) \(b_1 = -0{,}001,\ b_2 = -0{,}01\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{-0{,}01}{-0{,}001} = 10\).
\(b_6 =b_1q^{6-1}= -0{,}001\cdot10^{6-1} =\)
\(=-0{,}001\cdot10^5 = -100\).
\(b_n = -0{,}001\cdot10^{n-1}\).
г) \(b_1 = -100,\ b_2 = 10\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{10}{-100} = -\dfrac{1}{10}\).
\(b_6 =b_1q^{6-1}= -100\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{6-1} =\)
\(=-100\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)^5 =\)
\(= -100\cdot\left(-\dfrac{1}{100000}\right) =\dfrac{1}{1000}\).
\(b_n = -100\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}\).
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии находится по формуле:
\[ q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}. \]
Общий вид \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Шестой член геометрической прогрессии находится по формуле:
\[ b_6 = b_1 \cdot q^{5}. \]
В каждом пункте сначала находится знаменатель \(q\), затем по формулам вычисляется шестой член и записывается выражение для \(n\)-го члена прогрессии.
№594 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Дана арифметическая прогрессия:
\(-20{,}3;\ -18{,}7;\ \ldots\)
\(a_1=-20{,}3,\quad a_2=-18{,}7\)
\(d=-18{,}7-(-20{,}3)=\)
\(=-18,7 + 20,3=1{,}6\)
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
\(a_n=-20{,}3+(n-1)\cdot1{,}6\)
\(a_n = -20,3 + 1,6n -1,6\)
\(a_n = 1,6n - 21,9\)
\(a_n < 0\)
\(1,6n - 21,9<0\)
\(1,6n < 21,9\)
\(n < \frac{21,9}{1,6}\)
\(n < \frac{219}{16}\)
\(n<13\frac{11}{16}\)
Так как \(n \in N\), то отрицательные члены с \(1\) по \(13\), а первый положительный член имеет номер \(n=14\).
\(a_{14}=1,6\cdot14 - 21,9 =\)
\(=22,4 - 21,9=0{,}5.\)
| × | 1 | 6 | |
| 1 | 4 | ||
| + | 6 | 4 | |
| 1 | 6 | ||
| 2 | 2 | 4 |
Ответ: первый положительный член прогрессии \(a_{14}= 0,5\).
Пояснения:
Сначала по двум первым членам находится разность арифметической прогрессии:
\(d = a_{n+1} - a_n\).
Затем записывается формула \(n\)-го члена:
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\).
Чтобы определить номера отрицательных членов, решается неравенство \(a_n<0\). Так как разность положительная, члены прогрессии возрастают, и отрицательные значения будут только у первых членов.
Неравенство показывает, что последний отрицательный член имеет номер 13. Следующий, четырнадцатый член, уже положительный.
Подстановка \(n=14\) в формулу \(n\) - го члена даёт первый положительный член прогрессии, равный \(0{,}5\).
Вернуться к содержанию учебника