Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№593 учебника 2023-2026 (стр. 172):
Найдите седьмой и \(n\)-й члены геометрической прогрессии:
а) \(2;\ -6;\ \ldots\);
б) \(-40;\ -20;\ \ldots\);
в) \(-0{,}125;\ 0{,}25;\ \ldots\);
г) \(-10;\ 10;\ \ldots\).
№593 учебника 2014-2022 (стр. 153):
В арифметической прогрессии \((x_n)\) первый член равен \(8{,}7\), а разность равна \(-0{,}3\). Для каких членов прогрессии выполняется условие:
а) \(x_n \ge 0\);
б) \(x_n<0\)?
№593 учебника 2023-2026 (стр. 172):
Вспомните:
№593 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Вспомните:
№593 учебника 2023-2026 (стр. 172):
а) \(b_1 = 2,\ b_2 = -6\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{-6}{2} = -3\).
\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= 2\cdot(-3)^{7-1} =\)
\(=2\cdot(-3)^6 = 2\cdot729 = 1458\).
\(b_n = 2\cdot(-3)^{n-1}\).
б) \(b_1 = -40,\ b_2 = -20\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{-20}{-40} = \dfrac12\).
\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= -40\cdot\left(\dfrac12\right)^{7-1} =\)
\(=-40\cdot\left(\dfrac12\right)^6 = -\dfrac{40}{64} = -\dfrac{5}{8}\).
\(b_n = -40\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).
в) \(b_1 = -0{,}125,\ b_2 = 0{,}25\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{0{,}25}{-0{,}125} = -2\).
\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= -0{,}125\cdot(-2)^{7-1} =\)
\(=-0{,}125\cdot(-2)^6 =-0{,}125\cdot64 = -8\).
| × | 0 | 1 | 2 | 5 | |
| 6 | 4 | ||||
| + | 5 | 0 | 0 | ||
| 7 | 5 | 0 | |||
| 8 | 0 | 0 | 0 |
\(b_n = -0{,}125\cdot(-2)^{n-1}\).
г) \(b_1 = -10,\ b_2 = 10\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{10}{-10} = -1\).
\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= -10\cdot(-1)^{7-1} =\)
\(=-10\cdot(-1)^6 = -10\).
\(b_n = -10\cdot(-1)^{n-1}\).
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии находится по формуле:
\( q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}. \)
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Чтобы найти седьмой член прогрессии, в формулу подставляется \(n = 7\). Для нахождения \(n\)-го члена формула записывается в общем виде.
В пунктах а) и в) знаменатель по модулю больше 1, поэтому значения членов прогрессии быстро увеличиваются по модулю.
В пункте б) знаменатель меньше 1, поэтому члены прогрессии уменьшаются по модулю.
В пункте г) знаменатель равен \(-1\), поэтому значения членов прогрессии чередуются по знаку и повторяются по модулю.
№593 учебника 2014-2022 (стр. 153):
\((x_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(x_1 = 8{,}7\), \(d = -0{,}3\).
\(x_n = x_1 + (n - 1)d\)
\(x_n=8{,}7+(n-1)(-0{,}3)\)
\(x_n=8{,}7-0{,}3n+0,3\)
\(x_n = 9-0,3n\)
а) \(x_n \ge 0\)
\(9-0,3n \ge 0\)
\(-0,3n \ge -9\) \(/ :(-0,3)\)
\(n \le \frac{-9}{-0,3}\)
\(n \le \frac{90}{3}\)
\(n\le30\)
Ответ: условие \(x_n \ge 0\) выполняется для первых 30 членов прогрессии.
б) \(x_n < 0\)
\(9-0,3n < 0\)
\(-0,3n < -9\) \(/ :(-0,3)\)
\(n > \frac{-9}{-0,3}\)
\(n > \frac{90}{3}\)
\(n>30\)
Ответ: условие \(x_n < 0\) выполняется для всех членов прогрессии, коме первых тридцати членов.
Пояснения:
Арифметическая прогрессия задана первым членом \(x_1=8{,}7\) и разностью \(d=-0{,}3\). Так как разность отрицательная, значения членов прогрессии убывают.
Общий вид \(n\)-го члена:
\[x_n=x_1+(n-1)d.\]
а) Чтобы найти, при каких номерах члены неотрицательны, решается неравенство \(x_n\ge0\). Получается, что это верно для всех натуральных \(n\le30\).
б) Для отрицательных членов решается неравенство \(x_n<0\). Оно выполняется для всех \(n>30\), то есть начиная с \(n=31\).
Вернуться к содержанию учебника