Упражнение 595 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\triangle ABC \sim \triangle A_1BC_1\) - по двум углам (\(\angle B - общий, \angle BAC = \angle BA_1C_1\) - как соответственные при параллельных прямых \(AC\) и \( A_1C_1\))

Коэффициент подобия данные треугольников:

\(k=\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{A_1C_1}{2A_1C_1}=\frac12\)

\(\frac{S_{A_1BC_1}}{S_{ABC}}=\frac{S}{S_1}=k^2=\frac14\)

Откуда:

\(S_{A_1BC_1}=S_{ABC}\cdot \frac14\)

Аналогично доказываем, что:

\(S_{A_2BC_2}=S_{A_1BC_1}\cdot \frac14\) и т.д.

То есть площадь каждого следующего треугольника получается из площади предыдущего треугольника умножением на \(\frac14\), \(⇒\) \(S, S_1, S_2,...\) - геометрическая прогрессия \(b_n\).

\(b_n=b_1q^{n-1}\), где \(q=k^2=\frac14\), \(b_1=S.\)

Тогда:

\(S_{A_9BC_9}=b_{10}=b_1q^{10-1}=\)

\(=768\cdot\left(\dfrac14\right)^9=\dfrac{768}{4^9}=\)

\(=\dfrac{768}{262144}=\dfrac{3}{1024}\) (см²).

Ответ: \(S_{A_9BC_9}=\dfrac{3}{1024}\) см².

Пояснения:

Правила и факты, которые используются.

1) Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне, а отрезки от вершины до этих середины равны половинам соответствующих сторон.

2) Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия \(k\), то их площади относятся как \(k^2\):

\( \frac{S_2}{S_1}=k^2. \)

3)  Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Дано: \(a,\ b,\ c\) — последовательные члены арифметической прогрессии.

Доказать: \(a^2+ab+b^2,\)

\(a^2+ac+c^2\) и \(b^2+bc+c^2\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Доказательство:

1) Пусть \(d\) разность арифметической прогрессии с членами \(a,\ b,\ c\), тогда

\(d=b-a\)  и  \(d =c-b\),

\(b - a = c - b\).

2) Пусть \(x_1=a^2+ab+b^2\),

\(x_2=a^2+ac+c^2\),

\(x_3=b^2+bc+c^2\).

Докажем, что \(x_1,\ x_2,\ x_3\) — последовательные члены арифметической прогрессии, то есть

\(x_2-x_1=x_3-x_2\)

3) \(x_2-x_1=(a^2+ac+c^2)-(a^2+ab+b^2)\)

\(x_2-x_1=ac+c^2-ab-b^2\)

\(x_2-x_1=a(c-b)+(c^2-b^2)\)

\(x_2-x_1=a(c-b)+(c-b)(c+b)\)

\(x_2-x_1=(c-b)(a+b+c)\)

4) \(x_3-x_2=(b^2+bc+c^2)-(a^2+ac+c^2)\)

\(x_3-x_2=b^2+bc-a^2-ac\)

\(x_3-x_2=(b^2-a^2)+c(b-a)\)

\(x_3-x_2=(b-a)(b+a)+c(b-a)\)

\(x_3-x_2=(b-a)(a+b+c)\)

5) Так как \(b-a=c-b\), то

\((c-b)(a+b+c)=(b-a)(a+b+c)\),

то есть \(x_2-x_1=x_3-x_2\), значит, числа \(x_1,\ x_2,\ x_3\) являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Если три числа \(a,\ b,\ c\) идут подряд в арифметической прогрессии, то разности соседних членов равны:

\[b-a=c-b.\]

Это равенство является главным свойством, которое используется в доказательстве.

Чтобы показать, что три другие величины тоже идут подряд в арифметической прогрессии, нужно доказать равенство разностей соседних членов:

\(x_2-x_1=x_3-x_2\).

Для этого разности \(x_2-x_1\) и \(x_3-x_2\) приводятся к виду «общий множитель \((a+b+c)\) умножить на разность соседних членов исходной прогрессии». Используются формулы разности квадратов:

\(c^2-b^2=(c-b)(c+b),\)

\(b^2-a^2=(b-a)(b+a).\)

В результате получается:

\(x_2-x_1=(c-b)(a+b+c),\)

\(x_3-x_2=(b-a)(a+b+c).\)

Так как \(c-b=b-a\), то обе разности равны. Значит,  \(x_1,\ x_2,\ x_3\) образуют арифметическую прогрессию и идут в ней подряд.