Упражнение 598 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x_n=x_1q^{n-1}\)

\(x_6 = 0{,}32,\ q = 0{,}2\)

\(x_6 = x_1\cdot q^{6-1}\)

\(x_1=\frac{x_6}{q^5}=\frac{0,32}{0{,}2^5}=\)

\(=\dfrac{0{,}32}{0{,}00032} = 1000\).

Ответ: \(x_1=1000\).

б) \(x_3 = -162,\ x_5 = -18\).

\(|x_4|=\sqrt{x_3\cdot x_5}=\sqrt{-162\cdot(-18)}=\)

\(=\sqrt{2916}=54\)

\(x_4=54\)   или    \(x_4=-54.\) 

\(q=\frac{x_4}{x_3}\)

Тогда:

\(q=\frac{54}{-162}=-\frac13\)

или

\(q=\frac{-54}{-162}=\frac13.\)

Ответ: \(q=\pm\frac13.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:

\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно,  \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)

Сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника:

\(S_n=(n-2)\cdot180^\circ\)

Последовательность сумм для

\(n=3,4,5,\ldots\):

\(S_3=(3-2)\cdot180^\circ=180^\circ\)

\(S_4=(4-2)\cdot180^\circ=360^\circ\)

\(S_5=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ\)

Разность соседних членов:

\(S_{n+1}-S_n=((n+1)-2)\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ\)

\(S_{n+1}-S_n=(n-1)\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ\)

\(S_{n+1}-S_n=180^\circ\)

Следовательно, \(S_n\) образует арифметическую прогрессию с разностью \(d=180^\circ\).

Пояснения:

Используем известный факт из геометрии: выпуклый \(n\)-угольник можно разбить диагоналями из одной вершины на \(n-2\) треугольника. Сумма внутренних углов каждого треугольника равна \(180^\circ\).

Поэтому сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника равна сумме углов \(n-2\) треугольников:

\[S_n=(n-2)\cdot180^\circ.\]

Когда число сторон увеличивается на 1 (переходим от \(n\)-угольника к \((n+1)\)-угольнику), число треугольников в разбиении увеличивается на 1, значит сумма внутренних углов увеличивается на \(180^\circ\).

Это означает, что разность между соседними членами последовательности \(S_{n+1}-S_n\) постоянна и равна \(180^\circ\). Следовательно, последовательность сумм внутренних углов является арифметической прогрессией, а её разность равна \(180^\circ\).